Ústav fyzikální elektroniky PřF MU
Něco málo o matematickém kyvadle
1 Matematické kyvadlo – silový rozbor
1. Matematické kyvadlo o hmotnosti m = 0, 10 kg a délce l = 1, 0 m je volně vypuštěno
z polohy o úhlové výchylce ϕ = 30◦. Tíhové zrychlení je g = 9, 8 m.s˘2, hmotnost
závěsu je zanedbatelná. Určete tahovou sílu závěsu při průchodu kyvadla rovnovážnou
polohou. Odporové síly zanedbejte.
Řešení :
Řešit můžeme v inerciální i neinerciální soustavě. Řešení v inerciální soustavě (pozorovatel
např. v ose otáčení nebo úplně mimo): Působící síly jsou tíhová (svisle
dolů) a tahová (do směru závěsu). Jejich výslednicí je síla, která má dostředivý
charakter (viz obrázek 1). V rovnovážné poloze je Fg = mg, Fv = Fd = mv2
l a
Obrázek 1:
h
α
l
α₀
T
T
T
Fg
Fg
Fg
Fv
Fv
Fv
v
T = Fg + Fd = mg + mv2
l . Rychlost dostaneme ze zákona zachování energie: 1
2mv2 =
mgh = mgl(1 − cos ϕ). Pro velikost tahové síly tedy platí
T = mg + 2mg(1 − cos ϕ) = 3mg − mg cos ϕ = 3.0, 1.9, 8 − 0, 1.9, 8. cos 30◦
= 2 N.
Řešíme-li vše v neinerciální soustavě (pozorovatel na kuličce): Působící síly jsou síla
tíhová (svisle dolů), tahová (do směru závěsu) a síla odstředivá (směr závěsu, orientace
od bodu závěsu), jejichž výslednice ve směru závěsu je nulová (viz obrázek 2). V
rovnovážné poloze je Fg = mg, Fod = mv2
l a T = Fg + Fod = mg + mv2
l . Opět platí
zákon zachování energie a zbytek výpočtu je stejný.
1
Obrázek 2:
h
α
l
α₀
T
T
T
Fg
Fg
Fg
Fv
Fv
F =0v
v
Fod*
Fod*
F = 0od*
2 Zákon šíření chyb – Konkrétní případy – matematické ky-
vadlo
Jakým způsobem lze určit tíhové zrychlení? Jedna z možností je pomocí periody matematického
kyvadla (viz Obrázek 3). Matematickým kyvadlem rozumíme hmotný bod zavěšený
na nehmotném závěsu (při praktické realizaci tedy musíme dbát, aby hmotnost závaží byla
mnohem větší než hmotnost niti, na níž závaží visí).
Pohybovou rovnici kyvadla lze odvodit dvojím způsobem:
1. Pomocí druhé impulzové věty (analogie druhé Newtonovy rovnice pro rotující sys-
tém):
Jε = r × F.
Moment setrvačnosti hmotného bodu ve vzdálenosti l od osy otáčení je roven J =
m.l2. Úhlové zrychlení ε = dϕ
dt má směr z papíru k nám, ramenem síly r je spojnice
osy otáčení a okamžité polohy hmotného bodu. Orientace je k hmotnému bodu, délka
je l. Z vlastností vektorového součinu vyplývá, že jedinou silou s pohybovým účinkem
je složka síly tíhové do směru tečného k trajektorii F = m.g. sin ϕ (složky do směru
ramene síly mají nulový silový moment). Sestavme tedy pohybovou rovnici
J.ε = F.l
ml2
.
d2ϕ
dt2
= −mg sin ϕ.l
d2ϕ
dt2
+
g
l
sin ϕ = 0
2. Pomocí zákona zachování energie lze k poslední uvedené rovnici dojít také: Potenciální
energie kyvadla ve výšce hmax při maximální výchylce matematického kyvadla
2
(nulovou hladinu potenciální energie volíme v rovnovážné poloze) je rovna součtu potenciální
energie kyvadla ve výšce h a kinetické energie kyvadla v této výšce. Protože
rychlost kyvadla v = l.dϕ
dt a pro výšku h platí h = l−l cos ϕ = l(1−cos ϕ), dostaneme
Ep(ϕmax) = Ep(ϕ) + Ek(ϕ)
mgl(1 − cos ϕmax) = mgl(1 − cos ϕ) +
1
2
m. l
dϕ
dt
2
gl(1 − cos ϕmax) = gl(1 − cos ϕ) +
1
2
l2 dϕ
dt
2
Rovnici zderivujme podle času:
0 = gl sin ϕ
dϕ
dt
+
1
2
.l2
.2.
dϕ
dt
d2ϕ
dt2
gl sin ϕ + l2 d2ϕ
dt2
dϕ
dt
= 0,
přičemž výraz v závorce je výše uvedená pohybová rovnice.
Nyní zbývá tuto rovnici ještě rozřešit. Většinou se postupuje tak, že provedeme aproximaci
pro malé úhly sin ϕ
.
= ϕ a rovnice 1
d2ϕ
dt2
+
g
l
sin ϕ = 0 (1)
přejde v rovnici 2
d2ϕ
dt2
+
g
l
ϕ = 0, (2)
která je exaktně řešitelná, a pro periodu kyvadla platí
T = 2π
l
g
. (3)
Vyjádříme-li z tohoto vztahu tíhové zrychlení, dostaneme
g =
4π2
T2
l. (4)
Je potřeba si uvědomit, že jsme použili aproximaci pro malé úhly. Musí pro ně platit
sin ϕ
.
= ϕ, což platí pro ϕ ≤ 5◦ (hodnoty sinu a úhlu v radiánech se liší až na čtvrtém
desetinném místě). Například pro kyvadlo délky 1 m lze vychýlit kyvadlo jen o 87mm.
Pokud vychýlíme kyvadlo více, je měření zatíženo systematickou chybou, skutečná
perioda je větší než perioda určená pomocí vztahu 3
Tneaprox = T 1 +
1
2
2
sin2 ϕmax
2
+
1.3
2.4
4
sin4 ϕmax
2
+ . . . , (5)
kde ϕmax je maximální výchylka matematického kyvadla (což je konstanta). (Odvození
je delší, napíšeme ho do dodatku 3). Pokud bychom tedy počítali tíhové zrychlení
podle vztahu 4 a neuvažovali korigovanou periodu 5, získali bychom tíhové zrychlení
systematicky menší. Ale pokud dodržíme podmínku ϕ ≤ 5◦, je tato systematická
chyba zanedbatelně malá.
3
Chybu určení tíhového zrychlení vyjádříme jako chybu relativní, protože toto vyjádření
je jednodušší než přímý výpočet ze zákona šíření chyb (viz předchozí část, zákon
šíření chyb – procvičení matematiky) . Obdržíme
δg = δ2
l + 4δ2
T . (6)
Je tedy jasně vidět, že pro minimalizaci chyby určení tíhového zrychlení je třeba
změřit co nejpřesněji periodu matematického kyvadla.
3 Matematické kyvadlo – řešení pro velké výchylky
Proveďme odvození vztahu pro periodu matematického kyvadla, pokud se neomezujeme
na malé úhly.
Matematickým kyvadlem rozumíme hmotný bod zavěšený na nehmotném závěsu (při
praktické realizaci tedy musíme dbát, aby hmotnost závaží byla mnohem větší než hmotnost
niti, na níž závaží visí). Napišme zákon zachování energie pro toto kyvadlo: potenciální
energie v maximální výchylce ϕmax je rovna součtu potenciální a kinetické energie v libovolné
výchylce ϕ :
m.g.hmax = m.g.h +
1
2
.m.v2
m.g.l.(1 − cos ϕmax) = m.g.l.(1 − cos ϕ) +
1
2
.m. l.
dϕ
dt
2
g. (cos ϕ − cos ϕmax) =
1
2
.l.
dϕ
dt
2
dt =
l
g
dϕ
√
2 (cos ϕ − cos ϕmax)
Nyní musíme zvolit integrační meze a vhodnou substituci. Použijme substituci
sin
ϕ
2
= sin
ϕmax
2
. sin Φ
a integrujme v mezích t = 0 . . . Φ = 0, t = T
4 . . . Φ = π
2 . Tato volba zajišťuje, že v čase
t = 0 je kyvadlo v rovnovážné poloze a v čase t = T
4 je kyvadlo v amplitudě ϕmax.
Postupujme takto:
sin
ϕ
2
= sin
ϕmax
2
. sin Φ
1
2
cos
ϕ
2
dϕ = sin
ϕmax
2
. cos ΦdΦ
cos ϕ = cos 2.
ϕ
2
= cos2 ϕ
2
− sin2 ϕ
2
= 1 − 2. sin2 ϕ
2
dϕ
√
cos ϕ − cos ϕmax
=
sin ϕmax
2 . cos ΦdΦ
1
2. cos ϕ
2 . 1 − 2. sin2 ϕ
2 − 1 − 2. sin2 ϕmax
2
=
=
sin ϕmax
2 . cos ΦdΦ
1
2. 1 − sin2 ϕ
2 . 2. sin2 ϕmax
2 1 − sin2
Φ
=
=
√
2dΦ
1 − sin2 ϕ
2
=
√
2dΦ
1 − sin2 ϕmax
2 . sin2
Φ
4
O
l
h
mg
φ
φmax
mg
φ
l.cosφ
mg.sinφ
Obrázek 3: Matematické kyvadlo
Takovýto integrál by však nebyl exaktně řešitelný, je to tzv. eliptický integrál EllipticK( ),
tabelován je například v Maple. Výraz ve jmenovateli lze rozvinout v řadu:
|ε| < 1 ⇒ (1 ± ε)−1
2 = 1
1
2
.ε +
1.3
2.4
ε2 1.3.5
2.4.6
ε3
+
1.3.5.7
2.4.6.8
ε4
. . .
1 − sin2 ϕmax
2
. sin2
Φ
−1
2
= 1 +
1
2
. sin2 ϕmax
2
. sin2
Φ +
1.3
2.4
sin4 ϕmax
2
. sin4
Φ +
+
1.3.5
2.4.6
sin6 ϕmax
2
. sin6
Φ +
1.3.5.7
2.4.6.8
sin8 ϕmax
2
. sin8
Φ + . . .
Nyní se můžeme věnovat konečně výslednému integrování:
T
4
0
dt =
l
g
π
2
0
dϕ
√
2 (cos ϕ − cos ϕmax)
T
4
=
l
g
π
2
0
1 +
1
2
. sin2 ϕmax
2
. sin2
Φ +
1.3
2.4
sin4 ϕmax
2
. sin4
Φ +
1.3.5
2.4.6
sin6 ϕmax
2
. sin6
Φ+
+
1.3.5.7
2.4.6.8
sin8 ϕmax
2
. sin8
Φ + . . . dΦ
T = 4.
l
g
π
2
+
1
2
. sin2 ϕmax
2
π
2
0
sin2
ΦdΦ +
1.3
2.4
sin4 ϕmax
2
.
π
2
0
sin4
ΦdΦ+
+
1.3.5
2.4.6
sin6 ϕmax
2
.
π
2
0
sin6
ΦdΦ +
1.3.5.7
2.4.6.8
sin8 ϕmax
2
.
π
2
0
sin8
ΦdΦ + . . .
Nyní je potřeba zintegrovat sudou mocninu funkce sinus v daných mezích. Platí:
π
2
0
sin2n
ΦdΦ =
1.3.5. . . . .(2n − 1)
2.4.6. . . . .2n
.
π
2
pro n ≥ 1,
π
2
0
sin2
ΦdΦ =
1
2
.
π
2
=
π
4
.
5
Poslední výraz pak přejde do tvaru
T = 4.
l
g






π
2
+
1
2
. sin2 ϕmax
2
π
2
0
sin2
ΦdΦ
1
2
. π
2
+
1.3
2.4
sin4 ϕmax
2
.
π
2
0
sin4
ΦdΦ
1.3
2.4
. π
2
+
+
1.3.5
2.4.6
sin6 ϕmax
2
.
π
2
0
sin6
ΦdΦ
1.3.5
2.4.6
. π
2
+
1.3.5.7
2.4.6.8
sin8 ϕmax
2
.
π
2
0
sin8
ΦdΦ
1.3.5.7
2.4.6.8
.π
2
+ . . .






Nakonec dostaneme hledaný vztah pro periodu kyvu matematického kyvadla s libovolně
velkou amplitudou ( vztah pro periodu T = 2π. l
g bez následující závorky používáme
pouze v přiblížení pro malé úhly ϕmax < 5◦):
Tneaprox = 2π.
l
g
T
1 +
1
2
2
. sin2 ϕmax
2
+
1.3
2.4
2
sin4 ϕmax
2
+
1.3.5
2.4.6
2
sin6 ϕmax
2
+
+
1.3.5.7
2.4.6.8
2
sin8 ϕmax
2
+ . . .
6