Pokročilé úlohy z teoretické fyziky – mechanika
Příklad 1.
Magnetická čočka je tvořena válcově symetrickým polem popsaným vektorovým potenciálem
    0
2
2
1
, 0 , ,
2
1
z
B
A B z A A B z
z
a
    

kde B0 a a jsou konstanty. Svazek elektronů se rozbíhá z bodu oz z na ose. Pomocí
přibližného řešení Hamiltonovy – Jacobiho rovnice najděte bod iz z , kde bude svazek
(v paraxiálním přiblížení) opět zfokusován na osu.
Příklad 2.
(a) Dokažte invarianci Poissonových závorek při kanonických transformacích.
(b) Vyjádřete kanonické transformace definované vytvořující funkcí
    21
, , cotg .
2
F q Q t m t q Q
Příklad 3.
(a) Ukažte, že Schrödingerova rovnice pro volnou částici je invariantní vzhledem ke
Galileiho transformaci.
(b) Stanovte podmínky, za kterých je druhý Newtonův zákon invariantní vzhledem ke
Galileiho transformaci.
Příklad 4.
Zapište pohybové rovnice v proměnných účinek – úhel pro harmonický oscilátor s
hamiltoniánem
 
2
2 21
2 2
p
H m t q
m
 
a diskutujte možnost jejich přibližného řešení při pomalých změnách frekvence.
Příklad 5.
Popište jednorozměrný pohyb nerelativistické částice hmotnosti m v poli daném potenciální
energií
     exp 2 2exp ,U x A a x a x     
kde A a a jsou kladné konstanty.