Pokročilé úlohy z teoretické fyziky – kvantová mechanika
Příklad 1.
a) Odvoďte obecné relace neurčitosti (včetně důkazu Schwartzovy nerovnosti)
1 2 1 2
1ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
2
O O O O       kde    
2 2
2ˆ ˆ ˆ .O O O     
b) V čase 0t  se soustava se nachází ve stavu  0a . Hamiltonián ˆH je na čase
nezávislý. Pravděpodobnost přežití je definována jako      
2
0S t a a t . Vyjádřete
závislost         
1 22
2ˆ ˆ ˆH a t H a t a t H a t   
  
na funkci  S t a její derivaci.
Příklad 2.
a) Odvoďte podmínku platnosti WKB aproximace při řešení Schrödingerovy rovnice pro
jednorozměrný časově nezávislý případ.
b) Pokud je pohyb klasicky omezen dvěma body obratu na úsečku, odvoďte WKB
podmínku kvantování.
Příklad 3.
Vazebná konstanta („tuhost pružiny“) molekuly HCl je 470 Nm–1
, moment setrvačnosti
2,3.10–47
kgm2
. Uvažujeme teplotu 300 K.
a) Jaká je pravděpodobnost, že se molekula nachází v prvním excitovaném vibračním
stavu?
b) Jaký je poměr molekul v prvním excitovaném a základním rotačním stavu pro určitý
vibrační stav?
Příklad 4.
Hledáme vlastní hodnoty hamiltoniánu ˆH variační metodou pomocí zkušebních funkcí
1
n
k kk
a 
 , kde  k je množina lineárně nezávislých funkcí (pro jednoduchost
předpokládejme i j i j   ) a ka jsou variační parametry. Získáme tak n přibližných
vlastních funkcí  s energiemi ˆH         . Energie seřadíme 1 2  
.Jsou-li exaktní vlastní hodnoty 1 2E E  , dokažte, že platí 2 2E  .
Příklad 5.
Soustava částic se spinem J=1 je tvořena nekoherentní superpozicí následujících tří čistých
spinových stavů
     1 2 3
1 0 0 0
1
0 , 1 0 , 0 .
2
0 0 1 1
  
        
        
           
                
a) Spočtěte polarizační vektor každého ze tří stavů.
b) Spočtěte polarizační vektor na jednu částici pro soustavu (smíšený stav).
c) Spočtěte matici hustoty ˆ soustavy a přesvědčte se, že ˆTr 1  .
d) Pomocí matice hustoty spočtěte polarizační vektor soustavy a přesvědčte se, že
výsledek souhlasí s výsledkem b).