Dodatek k lineárním formám
I) Příklady k procvičení 1. Pro bázi ( ( p   o ) ' (i   o ) ' (l   1) ' VO   1) ) Prostom Mat2,2(M) určete duální bázi.
2. Pro bázi (x2 + x + prostoru R2M určete duální bázi.
3. Buď dány tři lineární formy /i, f2, j3 vektorového prostoru R2M následujícími předpisy:
IÁP) = /2(p) = /3(P) = ■
Určete bázi prostoru ke které je duální báze rovna (/1, f2, /s).
4. Buď dány čtyři lineární formy gi, §2, 93, 94 vektorového prostoru MaÍ2,2(R) následujícími předpisy: ffl(A) = (l,0)A(l,0)T,   <72(A) = (1,0)A(1,1)T,   ff3(A) = (l,l)A(l,0)T,   ff4(A) = (l,l)A(l,l)T.
Určete bázi prostoru Mat2,2(M) ke které je duální báze rovna (gi, 92,93, 94}-
II) Duální zobrzení
5. Popište duální zobrazení k lineárnímu zobrazení ip : R2M danému vztahem p{p) — p'.
Řešení: Označme U — R2M, V — Ri[x] a uvažujme v nich obvyklé báze a — {x2,x, 1) resp. j3 — (x, 1). Protože tp(p) — p' máme p(ax2 + bx + c) = 2ax + 6. Tedy matice lineárního zobrazení ip v uvažovaných bazích je
/ x (2   0 0N
0 1 o
Skutečně, pro p — ax + bx + c máme
(<f)f3,a ■ (p)a = (<f)f3,a ' | Ď | = ( n   ľ   n ) ■ I 6 I = ( 2^ ) = (^(ř1))/?
Pokud spočítáme duální bázi k a vidíme, že a* — Í2, Í3), kde lineární formy /i,/2,/3 vektorového prostoru U — B^M, (tzn-/i, /2,/3 £      ) jsou dány následujícími předpisy:
fi(ax2 + bx + c) — a,    f2(ax2 + bx + c) — b,    fz{ax2 + bx + c) — c .
Podobně duální báze k j3 je j3* — ((71,(72), kde lineární formy g\,g2 vektorového prostoru V — M.\[x\ jsou dány následujícími předpisy:
gi(ax + b) — a,   g2(flx + b) — b .
Duální zobrazení p* : V* —> U* (zde pozor na pořadí) je dáno definičním vztahem p*{g) — g ° tp, kde o je skládání (lineárních) zobrazení. Chceme-li zjistit matici tohoto zobrazení v příslušných bazích, tj. j3* a a* musíme spočítat nejdříve obrazy bazických vektorů, tzn. p*(g{) a p*{g2). Uvědomme si, že p*{g{), y*(«72) G U* jsou lineární formy vektorového prostoru U a potřebujeme tedy vidět jak se aplikují na vektory z U — M>2[x\-Tudíž
p*(gi)(ax2 + bx + c) — (gi o p)(ax2 + bx + c) — gi(p(ax2 + bx + c)) — g\{2ax + b) — 2a .
Tzn. if*(gi) — f je linární forma daná předpisem f(ax2 + bx + c) — 2a a potřebujeme ji vyjádřit jako lineární kombinaci bazických lineárních forem /1; /2, /3- Snadno se vidí, že f — 2fi — 2fi + O/2 + O/3 a tedy (/)Q« = (2, 0, 0)T. Určili jsme tedy souřadnice obrazu prvního bazického vektoru gi (z báze f3* prostoru V*) v zobrazení (p* v příslušné bázi (tj. bázi a* prostoru U*). Podobně určíme (f*(g2))a* takto:
Tudíž <y2*(g2) — $2 a máme (ip*(32))«* — (0; 1; 0)T- Pokud tedy získané sou5adnice dáme do sloupců, dostaneme matici duálního zobrazení (p* v příslušných bázích:
if*{g2){ax2 + bx + c) = (32 0 <y£>)(a:r2 + foc + c) = g2(f(ax2 + bx + c)) = g2(2ax + b) — b .
Na závěr si všimněme, že
(V3*)Q.j/3. = (ȣ
To samozřejmě platí obecně a cílem tohoto příkladu bylo pouze demonstrovat tento vztah.