1. domácí úloha ze semináře z matematiky II, březen 2012
1. Mějme prosté lineární zobrazení ip : U —> V a vektory u\, 112, ■ ■ ■, uj- G U. Dokažte: Jsou-li vektory u\, 112, ■ ■ ■ , Uk lineárně nezávislé v prostoru U, jsou lineárně nezávislé také vektory ip(u\), ip(u2), .. . ,ip(uk) v prostoru V.
2. Nechť U a V jsou vektorové podprostory v prostoru W. Dokažte, že jejich součet U + V je direktní, právě když platí
(Vw G U + V)(3\u e U)(3\v e V)(w = u + v).
3. Nechť U a V jsou vektorové podprostory v prostoru W. Nechť w\, W2, ■ ■ ■, Wfc je báze podprostoru U H V, nechť w\,..., Wk, ui, ■ ■ ■, un je báze podprostoru U a konečně nechť w\,..., Wk, v\,..., vm je báze podprostoru V. Dokažte, že w\,..., Wk, ui, ■ ■ ■, Uk, vii ■ ■ ■ 1 vm je báze podrostoru U + V.
4. Nechť (f : U —>• V je lineární zobrazení a W C V vektorový podprostor. Dokažte, že Lp^iW) — {u e U; ip(u) G W} je vektorový podprostor v U.
5. Dokažte z definice limity, že funkce / : M —> M definovaná předpisem f (x) — x pro x racionální a f (x) — 0 pro x iracionálni
a) má limitu v bodě 0,
b) nemá limitu v bodě a 7^ 0.
6. Pomocí "axiomu o inŕimu"dokažte: Každá klesající posloupnost kladných reálných čísel má limitu.
7. Dokažte z definice limity:
a) Jestliže
lim f (x) = L G M   ,    lim g (x) =     G M,
a'—>a a'—>a
pak
lim f(x)g(x) — K L.
x—>a
b) Jestliže
lim /(x) = 00   ,    lim g (x) — K > 0,
a'—>a x—>a
pak
lim f (x) g {x) — 00.
8. Dokažte z definice spojitosti. Je-li funkce / spojitá v bodě a a /(a) 7^ 0, pak je v bodě a spojitá i funkce j.
1