2. domácí úloha ze semináře z matematiky II, březen 2012
1. Nechť U a. V jsou vektorové podprostory v prostoru W. Dokažte, že jejich součet U + V je rovněž vektorový podprostor.
2. Nechť
[ui,u2, ■ ■ ■ ,uk] = kí2,ií3, ■ ■ -,uk\. Potom jsou vektory u\, 112, ■ ■ ■, uk lineárně závislé. Dokažte.
3. Nechť / : U —>• R je lineární forma. Dokažte:
a) dim ker / > n — 1.
b) dim ker / — n právě když / — 0.
4*. (Pro pokročilé.) Mějme vektorový prostor U nad M dimenze n a dvě lineární formy f,g:U—tM.. Dokažte:
a) dim(ker / n ker g) > n — 2.
b) dim(ker / n ker g) — n — 2 právě když jsou f a g lineárně nezávislé.
c) Zformulujte a dokažte analogická tvrzení pro k lineárních forem /1, f2,..., f k, kde 1 < k < n.
5. Dokažte z definice spojitosti: Je-li funkce / : R —>• R spojitá v bodě a G M a /(a) < 0, pak existuje ô > 0 tak, že pro všechna x G (a — ô, a + ô) je /(x) < 0.
6. Dokažte z definice limity, že funkce definovaná předpisem f (x) — x2 pro x 7^ 2 a /(2) = 8 nemá v bodě a — 2 limitu rovnu 6.
7. Nechť / : [a, b] —> R je spojitá funkce, /(a) > 0 a /(&) < 0. Definujme m jako infimum množiny
{x G [a, b], f (x) < 0}.
Dokažte, že f (m) — 0.
1