3. domácí úloha ze semináře z matematiky II, květen 2012
1. Nechť ip : U —> U je lineární operátor. Nechť u\, 112, ■ ■ ■, uj- jsou vlastní vektory k různým vlastním číslům. Dokažte, že jsou lineárně nezávislé. (Návod: Postupujte indukcí podle k. Viz přednáška z lineární algebry II.)
2. Nechť (f : U —>• U je lineární operátor s vlastností
f(f(u)) = (f(u)
pro všechna u g U. Dokažte, že potom
U — ker ip © im<y9.
(Návod: Prvně musíte dokázat, že každý vektor u g U je součtem vektoru z im<y9 a vektoru z ker<y9. Dále musíte dokázat, že každý prvek z průniku im<y9 n ker<y9 je nulový.)
3. Nechť U, V jsou podprostory vektorového prostoru W konečné dimenze se skalárním součinem. Nechť U'L značí ortogonální doplněk.
(a) Dokažte, že U1- je vektorový podprostor.
(b) Dokažte, že U C V implikuje      C [Z1.
(c) Dokažte, že U C (U^)^.
(d) Vyjádřete dimt/^ pomocí dimiy a dimt/.
(e) Pomocí (c) a (d) dokažte, že U — (l/-1)-1.
(f) Dokažte, že U1- + V1- C (í/ n F)-1.
(g*) Pomocí (d), (a), (e) dokažte, že (U n F)-1 C^+ľ1.
4. Nechť W je vektorový prostor konečné dimenze a VK* jeho duální prostor. Pro vektorové podprostory U C W a F C W* definujme
U° = {/ g VT; f (u) = 0 for all u g t/},
F° = {11 £ V; f (u) = 0 for all / g f1}.
Udělejte úkoly (a) - (g) z předchozího příkladu, kde symboly -1 nahradíte symboly °.
5. Dokažte z definice spojitosti: Jsou-li funkce /, g : R —>• M spojité v bodě a g M, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce f + g, / — g a f ■ g.
6. Dokažte z definice limity, že funkce definovaná předpisem f (x) — x3 pro x^5a /(5) — 100 nemá v bodě a — b limitu rovnu 6.
7. Napište definici derivace funkce g : (a, b) ^ R v bodě xq g (a, 6).
Nechť / : [a, 6] —>• R je spojitá funkce taková, že f (a) — f(b) < /(c) pro nějaké c g (a, 6). Jestliže má / derivaci v každém vnitřním bodě intervalu (a, b), pak existuje bod xq g (a, 6) takový, že f'(xo) — 0. Dokažte. (Návod: Vezměte za x0 bod, kde / nabývá svého maxima. Již víme, že takový bod existuje. Dokažte, že v tomto bodě nemůže být derivace kladná ani záporná.)
8. Z definice limity dokažte, že
x — 1 lim 1--
a;->l \x — 1|
neexistuje.
1