Jméno:
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Celkem
										
Vstupní písemka ze semináře z matematiky II, únor 2012
Max. počet bodů J^Q
la. Napište definici lineární nezávislosti vektorů t>i,t>2, ■ ■ ■ , ffc ve vektorovém prostoru V.     (í bod)
lb. Mějme lineární zobrazení ip : U —> U a vektory u\, u2, ■ ■ ■, G U. Dokažte: Jsou-li vektory (p(ui), p(u2), ■ ■ ■ ,tp{uk) lineárně nezávislé, jsou lineárně nezávislé i vektory u\,u2, ■ ■ ■ , itfc-   (3 body)
2a. Napište definici lineárního zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory. (í bod)
2b. Napište jak vypadají všechna lineární zobrazení z Rn do Rk. (3 body)
3a. Napište definici jádra lineárního zobrazení a definici podprostoru ve vektorovém prostoru.
(2 body)
3b. Dokažte: Jádro ker<y9 lineárního zobrazení ip : U —> V je vektorový podprostor ve V.     {2 body)
4. Dokažte: Lineárního zobrazení ip : U —> V je prosté, právě když jeho jádro ker<y9 obsahuje pouze nulový vektor. body)
5a. Napište definici lineárního obalu vektorů u\, «2,..., itfc ve vektorovém prostoru U. (í body)
5b. Z definice lineárního obalu dokažte rovnost [u\, u2, u3] — [ui, u2 — u\, u\ + u2 + 2m3]. (5 body)
6a. Napište definici suprema množiny M C M. (2 body)
6b. Se všemi potřebnými předpoklady zformulujte základní větu, která o supremu platí. (2 body)
7a. Napište definici limity posloupnosti reálných čísel. (í bod)
7b. Pomocí věty o supremu z předchozí úlohy dokažte: Každá rostoucí posloupnost záporných reálných čísel má limitu. (5 body)
8a. Napište definici limity reálné funkce / v bodě o£l. (í bod)
8b. Z definice limity dokažte:
lim(/(x) + g{x)) — lim f(x) + lim g(x),
x—>a x—>a x—>a
pokud limity vpravo existují. (5 body)
9a. Pomocí kvantifikátorů napište negaci definice
lim f(x) — L.
x—>a
(i bod)
9b. Dokažte z definice limity (resp. z předchozí úlohy), že limita v bodě 2 funkce / : R —>• R takové, že f(x) — 0 pro x iracionální a f(x) — 1 pro x racionální, není rovna 0. (5 body)
10a. Napište definici spojitosti reálné funkce v bodě o£l. (í bod)
10b. Dokažte z definice spojitosti: Jestliže jsou dvě funkce / a g spojité v bodě o£l, pak je v tomto bodě spojitý i jejich součin. (3 bod)
i