Jméno:
1	2	3	4	5	6	Celkem
						
1. test ze semináře z matematiky II, březen 2012
Max. počet bodů 24
la. Napište definici lineární nezávislosti vektorů t>i, t>2,...,ffc ve vektorovém prostoru V.
(1 bod - -2 body)
lb. Bez pomoci jiné definice napište, co znamená, že vektory u\, 112, ■ ■ ., uk generují vektorový prostor U. (1 bod - -2 body)
2. Mějme lineární zobrazení p : U —> V. Nechť vektory u±, «2, ■ ■ ., uk G U tvoří bázi ker<y9 a nechť vektory u\,...,u^, Mfc+i,... ,un tvoří bázi prostoru U. Dokažte:
2a. Vektory ip(uk+i), ip(uk+2), ... ,ip(un) generují im ip. (3 body)
2b. Vektory tp(uk+i), p{uk+2), ■ ■ ■ ,^(wn) jsou lineárně nezávislé ve V. (3 body)
3a. Nechť U, V a W jsou tři podprostory ve vektorovém prostoru Z. Podobně jako se definuje součet dvou podprostorů definujte součet tří podprostorů množinovým předpisem
U + V + W = {... }.
(1 bod)
3b. Nechť platí:
(Vz G U + V + W)(3\u G U)(3\v G V)(3\w G W){z = u + v + w). Dokažte, že potom
(u + v) nw — {0}.
(3 body)
4a. Napište definici infima množiny M C R. (í bod - -2 body )
4b. Pomocí "axiomu o infimu"detailně dokažte: Každá klesající posloupnost kladných reálných čísel má limitu. (5 body)
5a. Napište definici spojitosti reálné funkce / v bodě a G M. (í bod - -2 body)
5b. Pomocí kvantifikátorů napište, co znamená, že reálná funkce / nemá v bodě a G M reálnou limitu.
(i bod - -2 body)
6. Dokažte z definice spojitosti a limity, že funkce / : M —> M definovaná předpisem f (x) — 2 — x pro x racionální a f (x) — 1 pro x iracionálni
a) je spojitá v bodě 1, (3 body)
b) nemá limitu v bodě a 7^ 1. (5 body)
1