Jméno:
1	2	3	4	5	6	Celkem
						
Oprava 1. testu ze semináře z matematiky II, duben 2012
Max. počet bodů 24
la. Napište definici lineárního obalu vektorů vi,v2,... ,Vk ve vektorovém prostoru V.
(1 bod - -2 body)
lb. Nechť
[ui,u2, ■ ■ ■ ,uk] = [u2,u3,.. .,uk]. Potom jsou vektory u\, u2, ■ ■ ■, uk lineárně závislé. Dokažte. (5 body)
2a. Napište definici lineárního zobrazení ip : U —> V. (í bod —2 body)
2b. Nechť ip : U —>• V je prosté lineární zobrazení. Nechť U\ a U2 jsou podprostory v U, jejichž součet je direktní. Dokažte, že rovněž součet p{U\) + p(U2) je direktní. (5 body)
3a. Napište definici lineární nezávislosti vektorů vi,v2,... ,vk ve vektorovém prostoru V.
(1 bod - -2 body)
3b. Mějme lineární zobrazení ip : U —> U a vektory u\, u2,..., uk G U. Dokažte: Jsou-li vektory ip{u\), ip(u2), ... ,p{uk) lineárně nezávislé, jsou lineárně nezávislé i vektory u\,u2,... ,uk.   (3 body)
4a. Napište definici
lim f(x) = L G M.
x—>oo
(1 bod - -2 body)
4b. Dokažte z definice limity: Je-li
lim f (x) — L eR   a   L > 0,
pak existuje K > 0 tak, že pro všechna x > K je /(x) > 0. (5 6ody)
5b. Dokažte z definice limity, že funkce definovaná předpisem f (x) — x2 pro x ^ 1 a /(l) = 7 nemá v bodě a = 1 limitu rovnu 5. (4 body)
6a. Napište definici infima množiny M C M. (í bod —2 body)
6b. Nechť / : [a, b] —> M je spojitá funkce, f (a) > 0 a f (b) < 0. Definujme m jako infimum množiny
{x e [a, 6], f (x) < 0}.
Dokažte, že f (m) — 0. (5 6ody)
i