A. Písemka pro pokročilé ze SM II, duben 2012
Každá úloha po 4 bodech.
1. Nechť / : U —>• R je lineární forma. Dokažte:
a) dim ker / > n — 1.
b) dim ker / — n právě když / — 0.
2. (Pro pokročilé.) Mějme vektorový prostor U nad R dimenze n a dvě lineární formy f,g : U —>• R. Dokažte:
a) dim(ker / n ker g) > n — 2.
b) dim (ker / n ker g) — n — 2 právě když jsou / a g lineárně nezávislé.
3) Zformulujte a dokažte analogická tvrzení pro k lineárních forem f\, f2, ■ ■ ■, f k, kde 1 < k < n.
4. Dokažte z definice spojitosti: Je-li funkce / : R —>• R spojitá v bodě a e M a f (a) > 0, pak existuje c > 0 a S > 0 tak, že pro všechna x e (a — ô, a + ô) je f (x) > c.
5. Nechť / : [a, b] —>• M je spojitá funkce, /(a) > 0 a /(&) < 0. Definujme m jako infimum množiny
{x e [a, b], f (x) < 0}.
Dokažte, že f (m) — 0.
6. Dokažte z definice spojitosti. Je-li funkce / spojitá v bodě a a f (a) ^ 0, pak je v bodě a spojitá i funkce 4.
1