Jméno:
1	2	3	4	5	6	Celkem
						
2. písemka ze semináře z matematiky II, květen 2012
Max. počet bodů 24
1. Dokažte: Lineárního zobrazení ip : U —> V je prosté, právě když jeho jádro ker<y9 obsahuje pouze nulový vektor. (4 body)
2. Napište, jak vypadají všechna lineární zobrazení z Rn do M1 a své tvrzení dokažte.
U body)
3. Nechť <y9 : U —> U je lineární operátor. Nechť u\, 112, ■ ■ ■, itfc jsou vlastní vektory k různým vlastním číslům. Dokažte, že jsou lineárně nezávislé. (Návod: Postupujte indukcí podle k.) (4 body)
4. Dokažte z definice spojitosti: Jsou-li funkce f,g bodě spojitá i funkce f — g.
spojité v bodě a G M, pak je v tomto
(4 body)
5. Napište definici derivace funkce / : R —>• R v bodě a G R. Z této definice dokažte: Jestliže /'(a) > 0, pak existuje ô > 0 tak , že pro všechna x G (a, a + ô) je
/(V) > f (a).
(4 body)
6. Funkce / : [a, 6] —> R se nazývá funkce s konečnou variací, jestliže existuje K (z R tak, že pro všechna dělení D — {a — xq < x\ < ■ ■ ■ < xn-\ < xn — b} platí
n-l
sd = J2 l/fc+i) I < K-
i=0
V tomto případě nazveme variací funkce / na intervalu [a, b] číslo
V f [a, b] — sup{«£i; D je dělení intervalu [a, b]}.
Dokažte, že nerostoucí funkce je funkce s konečnou variací, a tuto variaci na intervalu [a, b] spočtěte.
(4 body)
1