Jméno:
1	2	3	4	5	6	Celkem
						
P 2. písemka pro pokročilé ze semináře z matematiky II, květen 2012
Max. počet bodů 24
1. Nechť (p : U ^ U je lineární operátor s vlastností
f(f(u)) = (f(u)
pro všechna u G Č7. Dokažte, že potom
í/ = ker ip © ini(y9.
2. Napište, jak vypadají všechna lineární zobrazení z m™ do m1 a své tvrzení dokažte.        (2 body)
3. Nechť í/, V jsou podprostory vektorového prostoru W konečné dimenze se skalárním součinem. Nechť U1- značí ortogonální doplněk.
(a) Dokažte, že U C V implikuje V1- C U-1.
(b) Dokažte, že í/ C (t/-1)-1.
(c) Vyjádřete dimU1- pomocí dimVK a dimU.
(d) Pomocí (b) a (c) dokažte, že U — (l/-1)-1.
(e) Dokažte, že í/-1 + y-1 C (í/ n F)-1.
(f) Pomocí (c) a (d) dokažte, že (U n F)1- C^ + y1. (5 6odit)
4. Napište definici derivace funkce / : (a, b) —>• m v bodě xo G (a, 6).
Nechť / : [a, 6] —>• R je spojitá funkce taková, že f (a) — f(b) < /(c) pro nějaké c G (a, 6). Jestliže má / derivaci v každém vnitřním bodě intervalu (a, b), pak existuje bod x0 G (a, 6) takový, že f'(x0) — 0. Dokažte. (4 body)
5. Funkce / : [a, 6] —> m se nazývá funkce s konečnou variací, jestliže existuje K G m tak, že pro všechna dělení D — {a — xq < x\ < ■ ■ ■ < xn-\ < xn — b} platí
n-l
sd = ^2 I/Oí+i) - < K.
i=0
V tomto případě nazveme variací funkce / na intervalu [a, b] číslo
V f [a, b] — sup{«£i; D je dělení intervalu [a, b]}.
(a) Dokažte, že nerostoucí funkce je funkce s konečnou variací, a tuto variaci na intervalu [a, b] spočtěte.
(b) Naspište příklad funkce na [0,1], která nemá konečnou variaci.
(c) Dokažte, že pro každou funkci / s konečnou variací je funkce
F(x) = Vf[a,x] dobře definovaná a neklesající na intervalu [a, b].
(4 body)
i