Písemka z Diferenciální geometrie křivek a ploch Termín C, 20.6.2011
Jméno a příjmení: UČO:
1. Je dána parametrizace
f(u, v) = (v2 + v,u + v2,uv),   u,v g BL
Obraz / v E3 = l3 označíme jako M = f (M2).
(a) [lb] Načrtněte průnik množiny M s rovinou z = 0.
(b) [2b] Rozhodněte, zda / parametrizuje plochu v E3 na dostatečně malých okolích bodů A = /(0,0) GMa B = /(i, i) gM.
(c) [2b] Ukažte, že / parametrizuje plochu v E3 na dostatečně malém okolí bodu C = /(1,1)GM.
2. Označme plochu s parametrizací / na okolí D CM2 bodu (1,1) g -D jako S.
(a) [2b] Určete asymptotické směry v bodě /(l, 1) a normálovou křivost ve směru (du, dv) = (1,0).
(b) [2b] Určete hlavní směry a hlavní křivosti v bodě /(l, 1).
(c) [lb] Spočítejte střední a Gaussovu křivost v bodě /(l, 1) a typ tohoto bodu (eliptický, hyperbolický nebo parabolický).
(d) [3b] Uvažme křivku na ploše S procházející bodem /(l, 1), která je v oblasti parametrů daná parametrizací (u(t),v(t)) = (1 + t, 1). Její tečné pole označíme U{t). Spočtěte kovari-antní derivaci        podél této křivky v bodě t = 0.
(e) [lb] Najděte nějakou izometrii plochy S pro oblast parametrů D = (1 — e, 1 + e) x (1 — e, 1 + e) ^ IR2 pro dostatečně malé e > 0.
3. Nechť T je válec o poloměru 1.
(a) [lb] Rozhodněte, zda na T existuje šroubovice, jejíž křivost je ve všech bodech větší než 1.
(b) [lb] Rozhodněte, zda na T existuje křivka, jejíž křivost je ve všech bodech větší než 1. Všechny svoje odpovědi zdůvodněte.
4. Dokažte, nebo najděte protipříklad:
(a) [lb] Jestliže jsou plochy S a, S izometrické, pak existuje shodnost <p : E3 —► E3 taková,
že <p(S) = S.
(b) [lb] Existuje plocha S která má právě jeden hyperbolický bod.
(c) [lb] Nechť S je plocha, p E S eliptický bod a C = S fl p řez rovinou p, která prochází bodem p. Pak křivost křivky C v bodě p je kladná. (Připomeňme, že křivost křivky je vždy nezáporná.)
Všechny svoje odpovědi zdůvodněte.
5. [2b] Nechť f(s) je křivka parametrizovaná obloukem s nenulovou křivostí ve všech bodech. Předpokládejme, že hlavní normály ve všech bodech f(s) se procházejí počátkem. Co můžete říci o křivce f(s) ? Svoji odpověď zdůvodněte.
1