Příklady na cvičení Výpočetní statistika, téma Jednoduchá lineární regrese


Příklad 1.: U osmi náhodně vybraných firem poskytujících odborné konzultace v oblasti jakosti
výroby byly v roce 2008 zjištěny počty zaměstnanců (náhodná veličina X)  a roční obraty (náhodná
veličina Y, v miliónech Kč), jak je uvedeno v tabulce:


                                Číslo firmy

                                           1

                                              2

                                                 3

                                                    4

                                                       5

                                                          6

                                                             7

                                                                8

                                X

                                           3

                                              5

                                                 5

                                                    8

                                                       9

                                                          11

                                                             12

                                                                15

                                Y

                                           0,8

                                              1,2

                                                 1,5

                                                    1,9

                                                       1,8

                                                          2,4

                                                             2,5

                                                                3,1


Předpokládáme, že závislost ročního obratu na počtu zaměstnanců lze popsat regresní přímkou.
K dispozici jsou částečné výstupy regresní analýzy ze systému STATISTICA:




a)      Napište rovnici regresní přímky vyjadřující závislost Y na X. Interpretujte úsek a směrnici
regresní přímky.

b)      Najděte 95% intervaly spolehlivosti pro parametry regresní přímky a s jejich pomocí
testujte na hladině významnosti hypotézy o nevýznamnosti úseku a směrnice regresní přímky.

c)      Vypočtěte index determinace a interpretujte ho.

Výsledek:

ad a) y = 0,361207 + 0,181034x

Pokud firma nebude mít žádné zaměstnance (tzn., že pracují pouze majitelé), bude roční obrat asi
361 000 Kč.

Pokud se zvýší počet zaměstnanců o jednoho, vzroste roční obrat asi o 181 000 Kč.


ad b)

95% interval spolehlivosti pro β[0]:

Znamená to, že 0,06411 < β[0] < 0,65303 s pravděpodobností aspoň 0,95.

Protože tento interval neobsahuje číslo 0, na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o
nevýznamnosti úseku regresní přímky.

95% interval spolehlivosti pro β[1]:

Znamená to, že 0,149137 < β[1] < 0,212932 s pravděpodobností aspoň 0,95.

Protože tento interval neobsahuje číslo 0, na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o
nevýznamnosti směrnice regresní přímky.

(Tento interval spolehlivosti nám vlastně udává, že při zvýšení počtu zaměstnanců o jednoho se
přírůstek ročního obratu firmy bude s pravděpodobností aspoň 0,95 pohybovat v intervalu 149 000 Kč
až 213 000 Kč.)

ad c)

Znamená to, že variabilita ročního obratu je z téměř 97 % vysvětlena regresní přímkou.


Příklad 2.: V modelu regresní přímky je index determinace roven 0,8 a reziduální rozptyl je 100.
Jaký je rozptyl hodnot závisle proměnné veličiny?


Příklad 3.: Určitý lék je přepravován v ampulkách, které jsou baleny po 1000 kusech v jednom
kartonu. U 10 náhodně vybraných kartonů bylo zjištěno, kolikrát byl karton překládán (veličina X) a
počet poškozených ampulek při převzetí zásilky (veličina Y).


                                        X

                                         1

                                           0

                                            2

                                              0

                                                3

                                                  1

                                                    0

                                                     1

                                                       2

                                                         0

                                        Y

                                         16

                                           9

                                            17

                                              12

                                                22

                                                  13

                                                    8

                                                     15

                                                       19

                                                         11


Na základě těchto údajů, které považujeme za realizace náhodného výběru z dvourozměrného normálního
rozložení, byly vypočteny parametry regresní přímky, která vystihuje závislost počtu poškozených
ampulek na počtu překládání: b[0] = 10,2, b[1] = 4. Směrodatné chyby odhadů regresních parametrů
jsou: . Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézy o nevýznamnosti parametrů β[0] a β[1]. V obou
případech vypočtěte hodnotu testové statistiky, najděte kritický obor a napište rozhodnutí o nulové
hypotéze.

Výsledek:

Na hladině významnosti α = 0,05 testujeme H[0]: β[0] = 0 proti H[1]: β[0] ≠ 0.

Testová statistika: ,

kritický obor: .

Protože se testová statistika realizuje v kritickém oboru, hypotézu o nevýznamnosti regresního
parametru β[0] (tj. posunutí regresní přímky) zamítáme na hladině významnosti 0,05.

Na hladině významnosti α = 0,05 testujeme H[0]: β[1] = 0 proti H[1]: β[1] ≠ 0.

Testová statistika: ,

kritický obor: .

Protože se testová statistika realizuje v kritickém oboru, hypotézu o nevýznamnosti regresního
parametru β[1] (tj. směrnice regresní přímky) zamítáme na hladině významnosti 0,05.



Příklad 4.: Máte k dispozici výstupní tabulku pro model regresní přímky:

Pokud se hodnota nezávisle proměnné veličiny X zvýší o 5 jednotek, jak se změní regresní odhad
hodnoty závisle proměnné veličiny Y?

Výsledek: Zvýší se o 29,775*5 = 148,9 jednotek.

Příklad 5.: Máte k dispozici neúplnou tabulku ANOVA pro model regresní přímky:

Najděte odhad reziduálního rozptylu.

Výsledek: