Řešení vzorové písemné části zkoušky z Výpočetní statistiky


Úkol 1.: (8 bodů) Mezi atlety je rozšířen názor, že o vítězství rozhoduje přidělení běžecké dráhy.
Proto bylo sledováno 160 závodů nejvyšší úrovně na světě (stadiony s 8 drahami). Výsledky jsou
uvedeny v tabulce, která udává počet vítězství na jednotlivých drahách:

                                  Číslo dráhy

                                                 1

                                                   2

                                                     3

                                                       4

                                                         5

                                                           6

                                                             7

                                                               8

                                  Počet vítězství

                                                 23

                                                   21

                                                     17

                                                       22

                                                         19

                                                           18

                                                             24

                                                               16

Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že přidělení běžecké dráhy nemá vliv na
vítězství.


Řešení: Kdyby nezáleželo na dráze, byla by pravděpodobnost vítězství pro každou dráhu rovna 1/8.
Výpočty uspořádáme do tabulky:


j

 n[j]

     p[j]

         np[j]

              (n[j] - np[j])^2

                              (n[j] - np[j])^2/ np[j]

1

 23

     1/8

         20

              9

                              9/20

2

 21

     1/8

         20

              1

                              1/20

3

 17

     1/8

         20

              9

                              9/20

4

 22

     1/8

         20

              4

                              4/20

5

 19

     1/8

         20

              1

                              1/20

6

 18

     1/8

         20

              4

                              4/20

7

 24

     1/8

         20

              16

                              16/20

8

 16

     1/8

         20

              16

                              16/20


K = 3, r = 8, p = 0, χ^2[0,95](7) = 14,067. Protože K < 14,067, H[0] nezamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05.


Úkol 2.: (8 bodů) Z realizace náhodného výběru rozsahu 12 jsme zjistili, že výběrový průměr nabyl
hodnoty 3,8 a výběrový rozptyl 0,4. Dodatečně bylo zjištěno, že všechny údaje byly podhodnoceny o 1
jednotku. O kolik procent se změnil výběrový koeficient variace?


Řešení:

Původní výběrový koeficient variace:

Správný průměr:

Správný rozptyl je stejný jako původní rozptyl, tedy 0,4.

Správný výběrový koeficient variace:

Výběrový koeficient variace se změnil o


Úkol 3.: (8 bodů) Pomocí K-W testu testujeme hypotézu, že tři nezávislé náhodné výběry o rozsazích
4, 5, 5 pocházejí z téhož rozložení. Součet pořadí hodnot v 1. výběru je 25 a ve 2. výběru 39. Lze
nulovou hypotézu na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítnout?


Řešení: n = 14, T[1] + T[2] + T[3] = n(n+1)/2 = 14.15/2 = 105, T[3] = 105 – 25 – 39 = 41

Kritický obor pro K-W test má tvar .

Testová statistika se nerealizuje ve W, H[0] nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.


Úkol 4.: (8 bodů) Nechť X[1], ..., X[16] je náhodný výběr z N(-2, 9). Jaká je pravděpodobnost, že
výběrový průměr nabude hodnoty aspoň -2,3?


Řešení:

Hledaná pravděpodobnost je asi 65,5%.


Úkol 5.: (8 bodů) Z realizace náhodného výběru rozsahu 9, který pochází z rozložení

N(μ, σ^2), byl vypočten výběrový průměr m = 15 a výběrový rozptyl s^2 = 36. Najděte 95% empirický
interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu µ.


Řešení:

h = 19,612, tedy 10,388  < µ < 19,612 s pravděpodobností aspoň 0,95.