TRH OBLIGACÍ
Jitka Dupačová, MFF UK
Příprava k přednášce pro vstupní kurs ČSOB 22. května 1997
Motto [7]: Many years ago, bonds were boring. Returns were small and steady.
Fixed income risk monitoring consisted of watching duration and avoiding low qualities.
But as interest-rate volatility has increased and the variety of fixed income
instruments has grown, both opportunities and dangers have flourished. Accurate
fixed income risk measurement has become both more important and more difficult...
1. Úvodem
Obligace jsou zřejmě nejstarším dokumentem kapitálových trhů. Ve 12. století
se s nimi obchodovalo v Benátské republice a nazývaly se ”prestiti”. Někdy se
o nich hovoří jako o cenných papírech s pevným důchodem; jak ale uvidíme, toto
označení odpovídá různým druhům obligací v různé míře a ani investice do obligací
nejsou bezrizikové.
S odvoláním na [3, kapitola 8] nebudeme zde jmenovat a popisovat jednotlivé
typy obligací (viz [3], odst. 8.1) a jen stručně připomeneme základní pojmy a
vztahy vyložené v [3], odst. 8.2–8.5, které budeme v dalším používat. Přidržíme se
většinou i označení zavedeného tamtéž. Pro daný titul obligace jsou kromě emitenta
důležité zejména tyto údaje:
(1) P0 současná tržní hodnota (market value);
(2) F nominální hodnota (face value);
(3) Ct kuponová platba (coupon payment) v čase t;
(4) n doba, resp. počet období do splatnosti (maturity);
(5) i∗
výnosnost do splatnosti (yield to maturity).
Obligace je charakterizována tokem budoucích plateb ft, t = 1, . . . , n, zpravidla
ft = Ct, t < n, fn = Cn + F. Její výnosnost do splatnosti je definována jako řešení
rovnice
(1) P0 =
n
t=1
ft
(1 + i)t
Všimněme si dvou jednoduchých případů:
Pro bezkupónovou obligaci je ft = 0, t < n, fn = F, takže výnosnost do splatnosti
i∗
= n F
P0
− 1
Typeset by AMS-TEX
1
Pro obligaci s pevnou úrokovou mírou je kupónová platba konstantní, Ct = C∀t
a používá se kupónová sazba c = C
F a běžná výnosnost v = C
P0
. Výnosnost do
splatnosti je řešením rovnice
P0 =
n
t=1
C
(1 + i)t
+
F
(1 + i)n
Dosazením za C = Fc a sečtením geometrické řady dostaneme
(2) P0 = F
c
i
(1 − (1 + i)−n
) + (1 + i)−n
Je-li tato obligace prodávána za nominální cenu, tj. pro P0 = F, je řešení (2)
snadné: i∗
= c. V tomto případě se shoduje kuponová sazba, běžná výnosnost a
výnosnost do splatnosti. Obecně se tyto veličiny od sebe liší.
Cenu obligace ke zvolenému datu, řekněme k datu t = 0+
bezprostředně po
výplatě kupónu, odhadujeme pomocí současné hodnoty toku budoucích plateb jako
(3) P0 =
n
t=1
ft
(1 + r)t
,
kde r je odpovídající úroková míra platná pro investice daných parametrů na
kapitálovém trhu. Vzorec (3) lze ještě korigovat o alikvótní úrok, pokud jde o
propočet ceny pro časový okamžik mezi kupónovými platbami. I bez této komplikace
naráží oceňování obligací podle (3) na problém volby úrokové míry r a znalost
budoucích plateb ft, zvláště pro obligace s dlouhou dobou do splatnosti:
Úroková míra se vyvíjí v čase a liší se pro různé rizikové třídy obchodovaných obligací;
v rámci dané rizikové třídy (např. pro státní obligace bez výpovědi) můžeme
(3) formálně zpřesnit
(4) P0 =
n
t=1
ft
t−1
k=0(1 + rk)
kde rk je úroková míra platná pro časový interval (k, k+1]. Otázkou zůstává odhad
budoucích hodnot rk a tomuto problému je věnována rozsáhlá literatura.
Kromě bezkupónových obligací a obligací s pevnou úrokovou mírou nemusí být
známa ani výše budoucích plateb; může záviset na budoucí úrokové míře (případ
obligací s pohyblivou úrokovou mírou), na budoucí inflaci (případ indexovaných
obligací) i na složitějších vazbách většího počtu vlivů (vypověditelné obligace, hypotéční
zástavní listy) atp. Tím je způsobena neurčitost ohledně budoucích výnosů
dané investice, což se promítne snížením tržní ceny oproti méně rizikové investici s
obdobnými charakteristikami, např. do státní obligace se stejnou nominální hodnotou,
dobou do splatnosti a s pevnou úrokovou mírou bez výpovědi. To má za
následek nárůst výnosnosti do splatnosti o hodnotu opravy výnosnosti do splatnosti
s ohledem na riziko (risk adjusted spread).
Investice do obligací není tedy obecně bezrizikovou záležitostí v tom smyslu, že
ani budoucí tržní cena obligace ani její výnosnost nemusí být přesně určeny. V
dalším odstavci se budeme zabývat některými aspekty rizika trhu obligací a jeho
kvantifikací.
2
2. Rizika trhu obligací a jejich kvantifikace
Základním rizikem trhu obligací, tj. faktorem, který rozhodujícím způsobem
ovlivňuje výnosnost investice do obligace, je vývoj úrokové míry, srv. (3), (4).
Roste-li úroková míra, klesá zřejmě cena obligace a naopak, a očekáváme vztah
mezi relativní změnou ceny a relativní změnou úrokové míry ve tvaru
(5) ∆P0 = −D∆r,
kde D se nazývá durace, trvání obligace. Myšlenka kvantifikovat riziko trhu obligací
pomocí durace pochází od F. Macauleye z konce 30. let.
Vztah (5) lze ve speciálních případech poměrně snadno odvodit a to svádí k
používání durace bez ověření předpokladů. Odvodíme si podrobně (5) pro případ
bezkupónových obligací ve stejné rizikové třídě a s různými dobami do splatnosti.
Pro ně uvažujme tzv. výnosovou křivku (yield curve), která popisuje závislost výnosnosti
do splatnosti na době do splatnosti (viz obrázek). Předpokládejme, že se jedná
o plochou výnosovou křivku, tj. že výnosnosti do doby splatnosti jsou přibližně konstantní
pro uvažované obligace a pro všechny doby do splatnosti. Vzorec (1) dává
jednoduchou závislost ceny P0 a výnosnosti do splatnosti i∗
pro bezkupónovou
obligaci s dobou do splatnosti n
P0 =
F
(1 + i∗)n
,
která postihuje změnu ceny obligace v souvislosti s jejím zráním v čase. Možná
změna platné úrokové míry pro bezkupónové obligace dané rizikové třídy ovlivní
ocenění obligací podle (3) a tím i budoucí výnosnosti do doby splatnosti a budoucí
výnosovou křivku.
Pokud bude i budoucí výnosová křivka plochá, znamená to, že došlo k paralelnímu
posunu výnosové křivky, tj. ke změně r = i∗
na r + δr, kde δr nezávisí na
čase. Cena obligace při úrokové míře r + δr
(6) P0(r + δr)
.
= P0(r) + δr
dP0
dr
takže po zderivování P0(r) a po jednoduché úpravě (5) vyjde relativní změna
(7)
P0(r + ∆r) − P0(r)
P0(r)
.
= −n
δr
1 + r
Chápeme-li tedy ∆r z (5) jako relativní změnu v 1 + r, je v tomto případě zřejmě
durace podle (5) shodná s dobou do splatnosti, D = n.
Kupónovou obligaci se známými toky ft, t = 1, . . . , n můžeme v souladu s (3)
studovat jako portfolio bezkupónových obligací s dobami do splatnosti t = 1, . . . , n,
které přispívají k ceně obligace (resp. tržní hodnotě uvažovaného portfolia) svými
současnými hodnotami f0t(r) = ft(1 + r)−t
počítanými pomocí konstantní úrokové
míry r. Pro jednotlivé členy součtu platí (srv. (7))
f0t(r + ∆r) − f0t(r)
.
= −tf0t(r)
δr
1 + r
,
3
pro jejich součet je
t
f0t(r + ∆r) −
t
f0t(r)
.
= −
δr
1 + r t
tf0t(r)
a po dosazení a vydělení cenou obligace P0(r) je
P0(r + ∆r) − P0(r)
P0(r)
.
= −
δr
1 + r
t tf0t(r)
P0(r)
Porovnáním s (5) získáme známý vzorec pro duraci kupónové obligace
(8) D = t tf0t(r)
P0(r)
Odpovídá poučce, že durace portfolia je vážený součet durací jednotlivých titulů
zahrnutých do portfolia. Pro jeho platnost byl podstatný předpoklad ploché výnosové
křivky a omezení změn na její paralelní posuny. Dosazením za P0 a přímým
zderivováním můžeme ověřit, že platí
(9)
d[P0(r)(1 + r)D
]
dr
= 0
Odtud další používaná poučka: Hodnota portfolia v čase shodném s jeho durací je
imunní vzhledem k malým změnám úrokové míry. Pro bezkuponovou obligaci jde
ovšem o triviální výsledek.
Někdy se používá durace založená na absolutní změně úrokové míry v (5), tj.
∆r = δr. Durace se v tomto případě obvykle nazývá dolarová durace a je rovná se
až na znaménko derivaci dP0
dr pro danou obligaci, resp. součtu t tft(1 + r)−(t+1)
pro obligaci nebo portfolio obligací charakterizované toky ft, t = 1, . . . , n.
Podle (5) durace vyjadřuje citlivost změny ceny obligace na změně úrokové míry.
Jedná se však o lokální vztah založený na aproximaci pomocí prvních derivací.
Zpřesněním by mohlo být použití druhých a vyšších derivací v Taylorově rozvoji
ceny P0 kolem bodu r. Druhé derivaci se v této souvislosti říká konvexita.
Alternativní vzorce pro duraci lze odvodit za modifikovaných předpokladů o
výnosové křivce, viz např [2, 6], a o změnách tvaru výnosové křivky: jestliže nedojde
k paralelnímu posunu úrokových měr stejnému pro všechny doby do splatnosti,
ale např. ke snížení pro krátké doby do splatnosti a zvýšení pro dlouhé doby do
splatnosti, může vést mechanické použití pravidla o duraci pro ochranu investice
ke ztrátám. Tomuto riziku se stručně říká riziko tvaru a setkáme se s ním ještě v
odstavci 3 v souvislosti s imunizací portfolia.
Vedle obecného rizika trhu obligací - rizika změny úrokové míry - jde i o riziko
spojené s kvalitou emitenta, podobné rizikům při poskytování úvěru. Platby od
méně kvalitního emitenta nemusí být realizovány v termínu, někdy nelze vyloučit
ani bankrot. To se promítne do ceny obligace a odtud do výnosu do splatnosti;
viz výše zmíněnou opravu výnosnosti s ohledem na rizika. Hodnocením obligací z
hlediska rizika úvěru se zabývají renomované firmy, např. Standard & Poor’s nebo
Moody’s; viz. [9], kap. 13. Speciální problémy s ohledem na riziko s sebou nesou vypověditelné
obligace a hypotéční zástavní listy; v jejich případě už evidentně nestačí
hodnotit riziko podle peněžních toků a zařazení obligace do některé z ratingových
skupin.
4
3. Volba a řízení portfolia obligací
Různé podpůrné modely pro optimální volbu portfolia obligací vznikaly koncem
70. let, kdy došlo k nečekaně velkému kolísání úrokových měr. Tyto modely
směřovaly k ochraně investora proti riziku úrokové míry, případně i riziku tvaru
v situaci, kdy má svým portfoliem financovat daný tok pasiv nebo chránit hodnotu
portfolia. Tyto modely lze zhruba rozdělit na modely založené na duraci, tzv.
imunizace portfolia (bond portfolio immunization) a na modely založené na vyrovnání
peněžních toků (cashflow matching) nazývané také portfolio se zaručeným
důchodem (dedicated bond portfolio).
V obou případech budeme předpokládat, že jde o investici do obligací z předem
daného seznamu, označených indexy j = 1, . . . , J, s odpovídajícími toky fjt v
časových okamžicích t = 1, . . . , T a současnými tržními hodnotami P0j. Kromě
toho uvažujeme daný tok finančních závazků Lt, které mají být uhrazeny z výnosu
portfolia v čase t. Množství obligací zakoupených do portfolia označíme xj, j =
1, . . . , J.
Imunizace portfolia
cf. [8], je založena na myšlence, že závazkům lze dostát jen když je současná hodnota
aktiv shodná (nebo větší než) se současnou hodnotou pasiv a portfolio aktiv i pasiva
jsou stejně citlivá na změny v úrokové míře. Druhý požadavek se kvantifikuje jako
shoda v duraci portfolia a duraci závazku.
Jedna z možných formulací úlohy zní
minimalizovat
J
j=1
P0jxj
za podmínek
J
j=1
PVjxj = PVL
J
j=1
Djxj = DL
xj ≥ 0 ∀j
Koeficienty PVj, j = 1, . . . , J, PVL, resp. Dj, j = 1, . . . , J, DL v této jednoduché
úloze lineárního programování jsou současné hodnoty počítané podle (3) (nemusí
se shodovat s tržní hodnotou), resp. durace obligací a pasiva.
Podle teorie lineárního programování, pokud má tato úloha řešení, bude optimální
portfolio složeno jen ze dvou obligací; to je tzv. činkovité (barbell) portfolio
a je zřejmě vystaveno značnému riziku, pokud v rozporu s předpokladem v definici
durace nebudou výnosy do splatnosti u obou zahrnutých obligací přibližně stejné.
Tuto nepříjemnost lze obejít tím, že se zadají další podmínky na složení portfolia,
např.:
• intervaly lj ≤ xj ≤ uj pro množství každé obligace v portfoliu; vznikne tzv.
žebříkové (ladder) portfolio;
• přidání podmínky na shodu konvexity portfolia obligací a pasiva;
• výběrem obligací, které mají přibližně stejnou duraci jako pasivum, tzv. zaostřené
(focused, bullet) portfolio.
5
Uvedený typ modelu používá lokální aproximace současné hodnoty, srv. (6),
chrání portfolio jen krátkodobě a je ho nutné stále přepočítávat. Je stále velmi populární,
i když vychází z předpokladů (např. malé paralelní posuny ploché výnosové
křivky v definici současné hodnoty i durace), které obecně nejsou splněny.
Portfolio se zaručeným důchodem
porovnává v každém uvažovaném časovém okamžiku t = 1, . . . , T peněžní toky ze
za- koupeného portfolia se závazkem. Závazek bude vždy splněn, pokud
(10)
J
j=1
fjtxj ≥ Lt, t = 1, . . . , T
Předpokládejme, že případný přebytek v+
t v čase t lze krátkodobě (do příštího
časového okamžiku) investovat za úrokovou míru rt platnou v období (t, t + 1].
Podmínky (10) se změní na
(11)
J
j=1
fjtxj + (1 + rt−1)v+
t−1 − v+
t = Lt, t = 1, . . . , T
Minimalizujeme opět náklady na pořízení portfolia
(12)
J
j=1
P0jxj (+v+
0 )
za podmínek nezápornosti na xj, v+
t ∀j, t a podmínek (11).
Zjevným problémem je přítomnost dnes ještě neznámých koeficientů rt – budoucích
hodnot úrokových měr. Můžeme mu do jisté míry čelit nasazením konservativně
určených nízkých hodnot rt nebo požadovat solventnost pro určitou množinu
(T −1)-rozměrných vektorů r budoucích hodnot úrokových měr rt, t = 1, . . . , T −1.
Takovým vektorům se říká scénáře a různé normativní předpisy požadují splnění
podmínek (11) pro předepsané pesimistické nebo charakteristické scénáře. Rozsah
úlohy tím vzroste, pro S uvažovaných scénářů v ní bude soustava ST podmínek
(13)
J
j=1
fjtxj + (1 + rs
t−1)v+s
t−1 − v+s
t = Lt
a J + S(T − 1) + 1 nezáporných proměnných (výchozí úroková míra r0 je známá
a v+
0 nezávisí na s). Výsledná úloha a její řešení pochopitelně závisí na výběru
scénářů.
Další myšlenka, která se nabízí, je umožnit také krátkodobé vypůjčení prostředků
chybějících v některém období; označíme chybějící množství peněz v období t jako
v−
t , resp. v−s
t a přepíšeme podmínku (13) odpovídajícím způsobem:
(14)
J
j=1
fjtxj + (1 + rs
t−1)v+s
t−1 − v+s
t + v−s
t − (1 + rs
t−1 + δt−1)v−s
t−1 = Lt
6
kde δt jsou náklady na vypůjčení (spread); konservativně mohou být nastaveny
např. tak, aby se shodovaly s rozdílem mezi maximální a minimální uvažovanou
úrokovou mírou rs
t pro období (t, t + 1].
Navíc je vhodné použití výpůjček penalizovat, tj. ocenit jejich použití v minimalizovaných
nákladech úpravou původní účelové funkce na
(15)
J
j=1
P0jxj(+v+
0 ) +
S
s=S
ps
T −1
t=1
qs
t v−s
t
kde qs
t je současná hodnota penále za použití výpůjčky v čase t při scénáři s (při
diskontování se používá rs
) a ps je pravděpodobnost, resp. váha scénáře s mezi
uvažovanými scénáři. Vypůjčování v posledním časovém okamžiku T zpravidla
není dovoleno.
Výsledný model
minimalizovat
J
j=1
P0jxj (+v+
0 ) +
S
s=1
ps
T −1
t=1
qs
t v−s
t
za podmínek
J
j=1
fjtxj + (1 + rs
t−1)v+s
t−1 − v+s
t + v−s
t − (1 + rs
t−1 + δt−1)v−s
t−1 = Lt
pro t = 1, . . . , T, s = 1, . . . , S a při nezápornosti všech proměnných je možné přepočítávat
v pozdějších časových okamžicích pro aktualizovaná data.
Scénáře slouží i k oceňování a následnému zahrnutí vypověditelných obligací
a indexovaných obligaci, jejichž kupony závisí na vývoji úrokových měr (modelovaném
scénáři). Další krok je umožnit rekonstrukci portfolia pozdějším prodejem
a nákupem obligací; příklad takové aplikace viz. [1].
Konstrukce scénářů je obtížný a komplexní problém. Mohou je zadat experti
ad hoc. Scénáře by přitom měly mj. odrážet současný stav trhu i jeho předpokládaný
budoucí vývoj. Současný stav trhu je většinou popsán výnosovou křivkou
vztaženou k danému datu a obligacím srovnatelné rizikové třídy, které byly toho
dne obchodovány. Pro odhad celého průběhu výnosové křivky (tj. pro výnosy
do splatnosti obligací všech možných dob do splatnosti) je třeba použít statistické
metody a numerické postupy. Dalším podstatným a hůře postižitelným faktorem je
volatilita výnosů do splatnosti, použití historických dat nemusí být vždy rozumné.
Pro generování scénářů se používají různé modely vývoje úrokových měr, důležitá
je i volba časového kroku, který bude pro rozhodování použit. Výsledná doporučení
pro řízení portfolia závisí na použitých scénářích a výsledky je třeba doplnit informací
o jejich citlivosti na volbě scénářů, viz. [5].
Použitá literatura
(1) M. Bertocchi, J. Dupačová a V. Moriggia: Sensitivity analysis on inputs for
a bond portfolio management model. In: Aktuarielle Ans¨atze f¨ur FinanzRisiken
AFIR 1996, Proc. of the VIth AFIR Colloquium, Nuremberg (P.
Albrecht, ed.), VVW Karlsruhe 1996, 783–793.
7
(2) G. O. Bierwag, G. G. Kaufman a A. Toevs: Bond portfolio immunization
and stochastic process risk. Journal of Bank Research, Winter 1983, 282–
291.
(3) T. Cipra: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou, Edice HZ,
Praha 1995.
(4) H. Dahl, A. Meeraus a S. Zenios: Some financial optimization models. I.
Risk management. In: Financial optimization (S. Zenios, ed.), Cambridge
Univ. Press 1993, str. 3–36.
(5) J. Dupačová, M. Bertocchi a V. Moriggia: Postoptimality for scenario based
financial models with an application to bond portfolio management. In:
World Wide Asset and Libility Modeling (W. Ziemba and J. Mulvey, eds.),
Cambridge Univ. Press, 1998, pp. 263–285.
(6) E. J. Elton a M. J. Gruber: Modern portfolio theory and investment analysis,
Wiley, New York 1987 (3. vydání).
(7) R. Kahn: Fixed income risk modelling. In: The Handbook of Fixed Income
Securities (F. Fabozzi, ed.), 3. vydání, str. 1307–1319.
(8) F. M. Redington: Review of the principles of life-office valuation. J. of the
Institute of Actuaries 18 (1952) 286–315.
(9) W. F. Sharpe a G. J. Alexander: Investments, Prentice-Hall 1990 (4. vydání).
Český překlad Victoria Publ. 1994.
(10) P. Zipkin: The structure of structured bond portfolio models. Operations
Research 40 (1992) S157–S170.
8