Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Analýza přežití Iveta Selingerová Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita 15.3.2012 Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Obsah 1 Analýza přežití 2 Odhady funkcí v analýze přežití 3 Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Analýza přežití Popis dat odpovídajících času od vstupní události (počáteční bod) do výskytu nějaké sledované události (koncový bod). Vstupní událost Koncová událost narození úmrtí počátek léčby uzdravení počátek onemocnění výskyt onemocnění vstup jedince do studie návrat onemocnění zavedení nového přístroje do provozu porucha přístroje Doba mezi počáteční a koncovou událostí je označována jako doba přežití. Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Vlastnosti dat v analýze přežití Proč nelze použít standardní statistické metody? data přežití nejsou obecně symetricky rozdělena koncová událost nebyla zpozorována jedinec stále naživu s pozorovaným jedincem ztratíme kontakt jedinec zemřel na jinou nemoc CENZOROVÁNÍ Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Vlastnosti dat v analýze přežití Proč nelze použít standardní statistické metody? data přežití nejsou obecně symetricky rozdělena koncová událost nebyla zpozorována jedinec stále naživu s pozorovaným jedincem ztratíme kontakt jedinec zemřel na jinou nemoc CENZOROVÁNÍ Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Cenzorování Cenzorování zprava skutečná doba přežití je vyšší než doba pozorování Cenzorování zleva doba přežití jedince je menší než sledovaná Intervalové cenzorování jedince je možné sledovat jen v určitých okamžicích Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Funkce přežití Funkce přežití F(t) je definována jako pravděpodobnost, že doba přežití je větší nebo rovna t. F(t) = P(T ≥ t) = ∞ t f (u)du = 1 − F(t). zleva spojitá klesající platí F(0) = 1, lim t→∞ F(t) = 0. Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Riziková funkce Riziková funkce λ(t) vyjadřuje pravděpodobnost, že jedinec nepřežije krátký časový interval ∆t za předpokladu, že se dožil času t. λ(t)∆t = P(t ≤ T < t + ∆t|T ≥ t) λ(t) = f (t) F(t) F(t) = e− t 0 λ(u)du Integrál v tomto výrazu se nazývá kumulativní riziková funkce Λ(t) = t 0 λ(u)du. Riziková funkce je nezáporná funkce, která může mít různý průběh. Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Náhodný model cenzorování Nechť T1, T2, . . . , Tn jsou nezávislé a identicky rozdělené časy přežití pro n pozorování v rámci studie s distribuční funkcí F. Dále nechť C1, C2, . . . , Cn jsou nezávislé a identicky rozdělené časy cenzorování s distribuční funkcí G. Časy cenzorování se obvykle předpokládají nezávislé na časech přežití. Není možné pozorovat jak Ti tak Ci . Místo toho budeme pozorovat dvojici (Xi , δi ), i = 1, . . . , n, kde Xi = min(Ti , Ci ) a δi = ITi ≤Ci . Funkce I je indikátorová funkce, tzn. I{Ti ≤Ci } = 1 Ti ≤ Ci , 0 Ti > Ci . δi udává, zda je i-té pozorování cenzorováno, či nikoliv. Iveta Selingerová Analýza přežití Analýza přežití Odhady funkcí v analýze přežití Testy pro srovnání funkcí přežití pro dvě skupiny Kaplan-Meierův odhad funkce přežití Uspořádaný náhodný výběr X(1), X(2), . . . , X(n) a příslušné indikátory cenzorování δ(1), δ(2), . . . , δ(n). ¯F(x) = i:X(i)