Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Iveta Selingerová Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita 12.4.2012 Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Úvod testujeme vliv faktoru na přežití ⇒ porovnání křivek přežití přežití (log-rank či Gehan-Wilcoxonův test) např. srovnáváme přežití mužů a žen chceme studovat více faktorů najednou nebo máme kvantitativní proměnné ⇒ regresní model např. přežití může záviset na pohlaví, věku, výsledcích vyšetření, typu léčby, . . . Regresní model Parametrický model - předpokládáme, že známe rozdělení přežití (Normální, exponenciální, lognormální, . . . ) Semiparametrický model - založen pouze na poměru rizik (Coxův model) Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Úvod testujeme vliv faktoru na přežití ⇒ porovnání křivek přežití přežití (log-rank či Gehan-Wilcoxonův test) např. srovnáváme přežití mužů a žen chceme studovat více faktorů najednou nebo máme kvantitativní proměnné ⇒ regresní model např. přežití může záviset na pohlaví, věku, výsledcích vyšetření, typu léčby, . . . Regresní model Parametrický model - předpokládáme, že známe rozdělení přežití (Normální, exponenciální, lognormální, . . . ) Semiparametrický model - založen pouze na poměru rizik (Coxův model) Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Definice Coxova modelu (Ti , δi , Zi (t)) Ti pozorovaný čas pro i-tého jedince δi indikátor cezorování pro i-tého jedince Zi (t) vektor kovariátů nebo rizikových faktorů pro i-tého jedince, které mohou mít efekt na přežití časově závislý, např. výsledek stejného vyšetření při jednotlivých kontrolách konstantní - známý v čase 0, např. pohlaví Zi (t) = Zi Máme p nezávisle proměnných Z = (Z1, . . . , Zp). Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Definice Coxova modelu Coxův model má tvar λ(t|Z) = λ0(t) exp(βT Z) = λ0(t) exp p k=1 βkZk λ(t|Z) riziková funkce pro jedince v čase t v závislosti na proměnných Z λ0(t) základní riziková funkce βT = (β1, . . . , βk) vektor parametrů λ(t|Z) λ(t|Z∗) = λ0(t) exp p k=1 βkZk λ0(t) exp p k=1 βkZ∗ k = exp p k=1 βk(Zk − Z∗ k ) např. Z1 léčebný efekt (Z1 = 1 pacient je léčen, Z1 = 0 použito placebo), λ(t|Z) λ(t|Z∗) = exp(β1) Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Kódování proměnných Dichotomická proměnná např. věk Z = 1 pro muže, Z = 0 pro ženy, Kvalitativní proměnné - faktory n skupin kódujeme pomocí n proměnných (přeparametrizovaný model) nebo pomocí n − 1 proměnných, např. barva vlasů Z1 = 1 pro blonďaté, 0 jinak, Z2 = 1 pro černé, 0 jinak, (Z3 = 1 pro hnědé, 0 jinak) Spojité proměnné např. věk Z Interakce faktorů např. pohlaví a barva pleti: Z1 = 1 černý muž, 0 jinak, Z2 = 1 bílý muž, 0 jinak, Z3 = 1 černá žena, 0 jinak, nebo Z1 = 1 muž, 0 jinak, Z2 = 1 černý, 0 jinak, Z3 = Z1 × Z2 = 1 černý muž, 0 jinak Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Odhad a testování parametrů Metoda maximální věrohodnosti ∂L ∂Lβk = 0, k = 1, . . . , p Řešení se obvykle provádí numericky (Newton-Raphsonova či jiné iterační metody) Testování hypotézy H0 : β1 = β10, . . . , βq = βq0 Waldův test Test věrohodnostním poměrem Skórový test Za platnosti nulové hypotézy mají statistiky těchto testů rozdělení χ2 s q stupni volnosti Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Výstavba modelu Věrohodnostní poměr LR = −2 log L, L je hodnota věrohodnostní funkce pro odhadnuté parametry Akeikeho informační kritérium AIC = −2 log L + kp, p je počet regresních koeficientů, k je nějaká konstanta (většinou 2) Schwarzovo informační kritérium SBC = −2 log L + k log n krokový výstavbový princip dopředu krokový výstavbový princip dozadu krokový výstavbový princip kombinovaný Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika Coxův model proporcionálního rizika Odhad funkce přežití Coxova regrese poskytuje odhad rizikové funkce ˆλ(t|Z) = λ0(t) exp p k=1 ˆβkZk Vztah mezi funkcí přežití a rizikovou funkcí S(t) = exp(− t 0 λ(s)ds) Odhad funkce přežití ˆS(t|Z) = S0(t)exp( p k=1 ˆβk Zk ) Iveta Selingerová Coxův model proporcionálního rizika