Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Drsná matematika II – 3. přednáška
Vlastnosti spojitých funkcí, derivace
Jan Slovák
Masarykova univerzita
12. 3. 2012
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Vlastnosti limit
3 Vlastnosti spojitých funkcí
4 Přírůstky do ZOO
5 Derivace
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Kde je dobré číst?
vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího
přednášejícího, GOOGLE, atd.
Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné
proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Theorem
Věta o třech limitách. Buďte f , g, h reálné funkce (s definičním
oborem A) takové, že existuje okolí hromadného bodu x0 ∈ R
množiny A, kde platí f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Pokud existují limity
lim
x→x0
f (x) = f0 a lim
x→x0
h(x) = h0 a nastává rovnost f0 = h0, pak
také existuje limita lim
x→x0
g(x) = g0 a platí g0 = f0 = h0.
Důkaz.
Z definice limity, pro libovolné ε > 0 existuje okolí U bodu x0, ve
kterém je f (x), h(x) ∈ (g0 − ε, g0 + ε). z podmínky
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) vyplývá, že i g(x) ∈ (g0 − ε, g0 + ε), tedy
lim
x→x0
g(x) = g0.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Theorem
Nechť A ⊂ R je definiční obor reálných nebo komplexních funkcí f
a g, x0 nechť je hromadný bod A a existují limity
limx→x0 f (x) = a ∈ R a limx→x0 g(x) = b ∈ R. Potom:
1 limita a je určena jednoznačně,
2 limita součtu f + g existuje a platí
limx→x0 (f (x) + g(x)) = a + b
3 limita součinu f · g existuje a platí limx→x0 (f (x) · g(x)) = a · b
4 pokud navíc b = 0, pak limita podílu f /g existuje a platí
limx→x0
f (x)
g(x) = a
b .
Důkaz.
(1): Předpokládejme, že a a a jsou dvě hodnoty limx→x0 f (x).
Pokud a = a , pak existují disjunktní O(a) a O(a ). Pro dostatečně
malá okolí x0 ale mají hodnoty f ležet v obou naráz, což je nesmysl,
proto a = a .
I ostatní vlastnosti vyplývají přímo z úvah o okolích hodnot.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Nekonečné hodnoty limit
Podrobnějším sledováním důkazů můžeme tvrzení rozšířit i na
některé nekonečné hodnoty limit: V prvém případě je zapotřebí, aby
buď alespoň jedna z limit byla konečná nebo aby obě měly stejné
znaménko. Pak opět platí že limita součtu je součet limit. Případ
„∞ − ∞“ ale není zahrnut.
V druhém případě může být jedna z limit nekonečná a druhá
nenulová. Pak opět platí, že limita součinu je součin limit. Případ
„0 · (±∞)“ není ale zahrnut.
V případě podílu může být a ∈ R a b = ±∞, kdy výsledek limity
bude nula, nebo a = ±∞ a b ∈ R, kde výsledek bude ±∞ podle
znamének čitatele a jmenovatele. Případ „ ∞
∞ “ není zahrnut.
Zdůrazněme, že naše tvrzení vesměs jako speciální případ pokrývají
také odpovídající tvrzení o konvergenci posloupností a
jednostranných limit.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Nechť f je reálná nebo komplexní funkce definovaná na intervalu
A ⊂ R. Říkáme, že f je spojitá v bodě x0 ∈ A, jestliže je
lim
x→x0
f (x) = f (x0).
Funkce f je spojitá na A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech
x0 ∈ A.
Všiměme si, že pro hraniční body intervalu A říká naše definice, že
f v nich má být spojitá zprava, resp. zleva.
Z vět o limitách okamžitě vyplývá většina následujících tvrzení:
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Theorem
Nechť f a g jsou spojité funkce na intervalu A. Pak
1 součet f + g je spojitá funkce
2 součin f · g je spojitá funkce
3 pokud navíc g(x0) = 0, pak podíl f /g je dobře definován v
nějakém okolí x0 a je spojitý v x0.
4 pokud spojitá funkce h je definována na okolí hodnoty f (x0),
pak složená funkce h ◦ f je definována na okolí bodu x0 a je v
x0 spojitá.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Důkaz.
Tvrzení (1) a (2) jsou zřejmá,
(3) Jestliže je g(x0) = 0, pak také celé –okolí čísla g(x0)
neobsahuje nulu pro dostatečně malé > 0. Ze spojitosti g pak
vyplývá, že na dostatečně malém δ–okolí x0 bude g neulové a podíl
f /g tam bude tedy dobře definován. Pak bude ovšem i spojitý v x0
podle předchozí věty.
(4) Zvolme nějaké okolí O hodnoty h(f (x0)). Ze spojitosti h k
němu existuje okolí O bodu f (x0), které je celé zobrazeno funkcí h
do O. Do tohoto okolí O spojité zobrazení f zobrazí dostatečně
malé okolí bodu x0. To je ale právě definiční vlastnost spojitosti a
důkaz je ukončen.
Nyní si vcelku snadno můžeme odvodit zásadní souvislosti spojitých
zobrazení a topologie reálných čísel:
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Theorem
Nechť f : R → R je spojitá funkce. Pak
1 vzor f −1(U) každé otevřené množiny je otevřená množina,
2 vzor f −1(W ) každé uzavřené množiny je uzavřená množina,
3 obraz f (K) každé kompaktní množiny je kompaktní množina,
4 na libovolné kompaktní množině K dosahuje spojité zobrazení
maxima a minima.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Důkaz.
(1) Uvažme x0 ∈ f −1(U). Nějaké okolí O hodnoty f (x0) je celé v
U, protože je U otevřená. Proto existuje okolí O bodu x0, které se
celé zobrazí do O, patří tedy do vzoru. Každý bod vzoru je tedy
vnitřní a tím je důkaz ukončený.
(2) Uvažme hromadný bod x0 vzoru f −1(W ) a posloupnost xi ,
f (xi ) ∈ W , která k němu konverguje. Ze spojitosti f zjevně
vyplývá, že f (xi ) konverguje k f (x0), a protože je W uzavřená,
musí i f (x0) ∈ W . Zřejmě jsou tedy všechny hromadné body vzoru
W ve W také obsaženy.
(3) Zvolme otevřené pokrytí f (K). Vzory jednotlivých intervalů jsou
sjednoceními otevřených intervalů a tedy vytvoří pokrytí množiny
K. Z něho lze vybrat konečné pokrytí a proto stačí konečně mnoho
odpovídajících obrazů i k pokrytí množiny f (K).
(4) Protože je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní
množina, musí být obraz ohraničený a zároveň musí obsahovat
svoje supremum i infimum. Odtud ale vyplývá, že tyto musí být
zároveň maximem a minimem hodnot.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Důsledek
Nechť f : R → R je spojitá. Potom
1 obraz každého intervalu je opět interval
2 f na uzavřeném intervalu [a, b] nabývá všech hodnot mezi
svou maximální a minimální hodnotou.
Důkaz.
(1) Uvažme interval A a předpokládejme, že existuje y ∈ R takový,
že f (A) obsahuje body menší i větší než y, ale y /∈ f (A). Pak vzory
otevřených množin A1 = f −1((−∞, y)) a A2 = f −1((y, ∞))
pokrývají A. Tyto otevřené množiny jsou disjunktní a obě mají
neprázdný průnik s A. Nutně tedy existuje x ∈ A, který neleží v A1,
je ale jejím hromadným bodem. Musí pak ležet v A2 a to u
disjunktních otevřených množin není možné. Proto pokud nějaký
bod y nepatří do obrazu intervalu, musí být zároveň všechny
hodnoty buď větší nebo menší. Obrazem bude proto opět interval.
Všimněme si, že jeho krajní body mohou a nemusí do obrazu patřit.
Tvrzení (2) je přímým důsledkem (1).
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Racionální funkce
Nechť f a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní
hodnoty (tj. připouštíme výrazy anxn + · · · + a0 s komplexními
ai ∈ C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Pak funkce
h : R \ {x ∈ R, g(x) = 0} → C, h(x) = f (x)
g(x) je dobře definována ve
všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce
nazýváme racionální funkce.
Racionální funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního
oboru. V bodech, kde definovány nejsou mohou mít
konečnou limitu, když jde o společný kořen polynomů f i g (a
v tomto případě rozšířením jejich definice o limitní hodnotu v
tomto bodě dostaneme funkci i v tomto bodě spojitou)
nekonečnou limitu, když limity zprava a zleva v tomto bodě
jsou stejné
různé nekonečné limity zprava a zleva.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
y
x
6
5
4
2
4
0
-2
3
-4
-6
210-1
a=0.
y
x
6
5
4
2
4
0
-2
3
-4
-6
210-1
a=1.6667
h(x) =
(x − 0.05a)(x − 2 − 0.2a)(x − 5)
x(x − 2)(x − 4)
s hodnotami a = 0 a a = 5/3.
Obrázek vlevo tedy zobrazuje racionální funkci (x − 5)/(x − 4).
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Mocninné funkce
Polynomy jsou seskládány z jednoduchých mocninných funkcí
x → xn s přirozeným číslem n = 0, 1, 2, . . . . Samozřejmý smysl má
také funkce x → x−1 pro všechny x = 0. Tuto definici rozšíříme na
obecnou mocninnou funkci s n ∈ R.
Pro n = −a s a ∈ N definujeme
x−a
= (xa
)−1
= (x−1
)a
.
Dále jistě chceme, aby ze vztahu bn = x pro n ∈ N vyplývalo
b = x
1
n . Je třeba ale ověřit, že taková b skutečně existují pro dané
x. Předpokládejme x > 0 a označme B množinu
B = {y ∈ R, y > 0, yn ≤ x}. To je zřejmě zhora ohraničená
množina a lze ověřit, že pro b = sup B skutečně platí požadovaná
rovnost.
Zdůvodnili jsme tedy existenci xa pro všechny x > 0 a a ∈ Q.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Mocninná funkce – pokračování
Konečně, pro a ∈ R, x > 1 klademe
xa
= sup{xy
, y ∈ Q, y ≤ a}.
Pro 0 < x < 1 buď definujeme analogicky (je třeba si jen pohrát s
nerovnítky) nebo klademe přímo xa = (1
x )−a. Pro x = 1 je pak
1a = 1 pro libovolné a.
Obecnou mocninnou funkci x → xa máme tedy dobře definovanou
pro všechny x ∈ [0, ∞) a a ∈ R.
Exponenciální funkce
Naši konstrukci funkce xa ale můžeme také číst následujícím
způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná
funkce na celém R, y → cy . Této funkci říkáme exponenciální
funkce o základu c.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Na obrázcích vidíme funkce x → ax a x → xb pro jednu konkrétní
hodnotu a = 2.5167 a b = 4.5833.
20
0
0
-2-4
y
b
100
4
80
60
2
40
a=2.5167
a
32,5
y
2
100
80
1,5
60
40
1
20
0
0,5
b=4.5833
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Z našich definic je vcelku zřejmé, že mocninné i exponenciální
funkce jsou spojité na celých svých definičních oborech. Zároveň se
ze spojitosti definice pomocí suprem množin hodnot zjevně přenáší
základní vlastnosti platné pro racionální čísla, a, x, y:
ax
· ay
= ax+y
, (ax
)y
= ax·y
.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Definition
Nechť f je reálná nebo komplexní funkce s definičním oborem
A ⊂ R a x0 ∈ A. Jestliže existuje limita
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= a
pak řídáme, že f má v bodě x0 derivaci a. Píšeme často a = f (x0)
nebo a = df
dx (x0) případně a = d
dx f (x0).
Derivace funkce je vlastní, resp. nevlastní, když je takovou
příslušná limita.
Jednostranné derivace (tj. derivaci zprava a zleva) definujeme
zcela stejně pomocí limity zprava a zleva.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Z formulace definice lze očekávat, že f (x0) bude opět umožňovat
dobře aproximovat danou funkci pomocí přímky
y = f (x0) + f (x0)(x − x0).
Takto lze vnímat následující lemma, které říká, že nahrazením
konstantního koeficientu f (x0) vhodnou spojitou funkcí dostaneme
přímo hodnoty f .
Lemma
Reálná nebo komplexní funkce má v bodě x0 vlastní derivaci, právě
když existuje na nějakém okolí O(x0) funkce ψ spojitá v x0 a
taková, že pro všechny x ∈ O(x0) platí
f (x) = f (x0) + ψ(x)(x − x0).
Navíc pak vždy ψ(x0) = f (x0).
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Důkaz.
Nejprve předpokládejme, že f (x0) je vlastní derivace. Pokud má ψ
existovat, má jistě tvar ψ(x) = (f (x) − f (x0))/(x − x0) pro všechny
x ∈ O \ {x0}. V bodě x0 naopak definujme hodnotu derivací. Pak
jistě
lim
x→x0
ψ(x) = f (x0) = ψ(x0)
jak je požadováno.
Naopak, jestliže taková funkce ψ existuje, tentýž postup vypočte
její limitu v x0. Proto existuje i f (x0) a je ψ(x0) rovna.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Geometrický význam derivace
Předchozí lemma lze názorně vysvětlit geometricky a tím popsat
smysl derivace. Říká totiž, že na grafu funkce y = f (x), tj. na
příslušné křivce v rovině se souřadnicemi x a y, poznáme, zda
existuje derivace podle toho, jestli se spojitě mění hodnota směrnice
sečny procházející body [x0, f (x0)] a [x, f (x)]. Pokud ano, pak
limitní hodnota této směrnice je hodnotou derivace.
Corollary
Má-li reálná funkce f v bodě x0 ∈ R derivaci f (x0) > 0, pak pro
nějaké okolí O(x0) platí f (b) > f (a) pro všechny body
a, b ∈ O(x0), b > a.
Je-li derivace f (x0) < 0, pak naopak pro nějaké okolí O(x0) platí
f (b) < f (a) pro všechny body a, b ∈ O(x0), b > a.
Literatura Vlastnosti limit Vlastnosti spojitých funkcí Přírůstky do ZOO Derivace
Důkaz.
Uvažme prvý případ. Pak podle předchozího lematu platí
f (x) = f (x0) + ψ(x)(x − x0) a ψ(x0) > 0. Protože je ale ψ v x0
spojitá, musí existovat okolí O(x0), na kterém bude ψ(x) > 0. Pak
ale s rostoucím x nutně poroste i hodnota f (x).
Stejná argumentace ověří i tvrzení se zápornou derivací.
Funkce, které mají vlastnost f (b) > f (a) kdykoliv b > a pro nějaké
okolí bodu x0 se nazývají rostoucí v bodě x0. Funkce rostoucí ve
všech bodech nějakého intervalu se nazývá rostoucí na intervalu.
Podobně je funkce klesající v bodu, resp. klesající na intervalu,
jestliže f (b) < f (a) kdykoliv je a < b.
Funkce která má v bodě nenulovou konečnou derivaci je v tomto
bodě buď rostoucí nebo klesající podle znaménka této derivace.