Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Drsná matematika II – 4. přednáška
Vlastnosti derivací a elementární funkce
Jan Slovák
Masarykova univerzita
12. 3. 2012
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Obsah přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 Derivace vyšších řádů
3 Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Pravidla pro počítání
Theorem
Nechť f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí
bodu x0 ∈ R a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom
1 funkce f je v bodě x0 spojitá,
2 pro každé reálné nebo komplexní číslo c má funkce
x → c · f (x) derivaci v x0 a platí
(cf ) (x0) = c(f (x0)),
3 funkce f + g má v x0 derivaci a platí
(f + g) (x0) = f (x0) + g (x0).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Pravidla pro počítání
Theorem
Nechť f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí
bodu x0 ∈ R a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom
1 funkce f · g má v x0 derivaci a platí
(f · g) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0),
2 Je-li dále h funkce definovaná na okolí obrazu y0 = f (x0),
která má derivaci v bodě y0, má také složená funkce h ◦ f
derivaci v bodě x0 a platí
(h ◦ f ) (x0) = h (f (x0)) · f (x0).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Intuitivně můžeme pravidlům velice snadno rozumět, když si
derivaci funkce y = f (x) představíme jako podíl přírůstků závislé
proměnné y a nezávislé proměnné x:
f =
∆y
∆x
.
Samozřejmě pak při y = h(x) = f (x) + g(x) je přírůstek y dán
součtem přírůstků f a g a přírůstek závislé proměnné zůstává
stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací.
U součinu musíme být malinko pozornější. Pro
y = h(x) = f (x)g(x) je přírůstek
∆y = f (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x)
= f (x + ∆x)(g(x + ∆x) − g(x)) + (f (x + ∆x) − f (x))g(x)
Nyní ale když budeme zmenšovat přírůstek ∆x, jde vlastně o
výpočet limity součtu součinů a o tom už víme, že jej lze počítat
jako součet součinů limit. Proto z naší formulky lze očkávat pro
derivaci součinu fg výraz fg + f g.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Ještě zajímavější je to pro derivaci složené funkce g = h ◦ f , kde
definiční obor funkce z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce
y = f (x). Opět vypsáním přírůstků dostáváme
g =
∆z
∆x
=
∆z
∆y
∆y
∆x
.
Můžeme tedy očekávat, že pravidlo pro výpočet bude
(h ◦ f ) (x) = h (f (x))f (x).
Důsledek
Nechť f a g jsou reálné funkce, která mají v bodě x0 vlastní
derivace a g(x0) = 0. Pak pro funkci h(x) = f (x)(g(x))−1 platí
h (x0) =
f
g
(x0) =
f (x0)g(x0) − f (x0)g (x0)
(g(x0))2
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Důkaz.
Nejprve pro h(x) = x−1 přímo z definice:
h (x) = lim
∆x→0
1
x+∆x − 1
x
∆x
= lim
∆x→0
x − x − ∆x
∆x(x2 + x∆x)
= lim
∆x→0
−1
x2 + x∆x
.
Z pravidel pro počítání limit okamžitě dostáváme
h (x0) = −x−2
.
Nyní pravidlo pro derivaci složené funkce říká, že (g−1) = −g2 · g
a konečně pravidlo pro derivaci součinu nám dává právě kýžený
vzorec:
(f /g) = (f · g−1
) = f g−1
− fg−2
g =
f g − gf
g2
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Derivace inverzních funkcí
Již dávno jsme formulovali pojem inverzní funkce: Pokud k dané
funkci f : R → R inverzní funkce f −1 existuje (nezaměňujme
značení s funkcí x → (f (x))−1), pak je dána jednoznačně
kterýmkoliv ze vztahů
f −1
◦ f = idR, f ◦ f −1
= idR,
a druhý již pak platí také. Pokud je f definováno na podmnožině
A ⊂ R a f (A) = B, je existence f −1 podmíněna stejnými vztahy s
identickými zobrazeními idA resp. idB na pravých stranách.
Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f −1
diferencovatelná, pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká
1 = (id) (x) = (f −1
◦ f ) (x) = (f −1
) (f (x)) · f (x)
a tedy přímo víme formuli (zjevně f (x) v takovém případě nemůže
být nulové)
(f −1
) (f (x)) =
1
f (x)
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f (x) je f = ∆y
∆x
zatímco pro x = f −1(y) je (f −1) (y) = ∆x
∆y . Takto skutečně
můžeme derivace inverzních funkcí počítat:
Theorem
Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu x0 a f (x0) = 0, pak
existuje na nějakém okolí bodu y0 = f (x0) funkce f −1 inverzní k f
a platí vztah
(f −1
) (f (x)) =
1
f (x)
.
Pokud je f (x0) = 0 izolovaným nulovým bodem derivace f (x) a
inverzní funkce k f na okolí f (x0) existuje, pak limity zprava i zleva
funkce f jsou v bodě x0 nevlastní.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Definition
Říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f má v bodě x0 derivaci
druhého řádu v bodě x0, jestliže derivace f existuje na nějakém
okolí bodu x0 a existuje její derivace v bodě x0. Píšeme
f (x0) = (f ) (x0)
nebo také f (2)(x0). Funkce f je dvakrát diferencovatelná na
nějakém intervalu A, jestliže má druhou derivaci v každém jeho
bodě.
Derivace vyšších řádů definujeme induktivně. Známe již pojem první
a druhá derivace a říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f je
k-krát diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k v bodě x0,
jestliže je (k − 1)-krát diferencovatelná na nějakém okolí bodu x0 a
její (k − 1)-ní derivace má v bodě x0 derivaci.
Pro k-tou derivaci funkce f (x) užíváme značení f (k)(x).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Jestliže existují derivace všech řádů na intervalu, říkáme, že je tam
funkce f hladká. Většinou se také užívá konvence, že 0-krát
diferencovatelná funkce znamená spojitá funkce. Používáme pro
takové funkce označení třída funkcí Ck(A) na intervalu A, kde k
může nabývat hodnot 0, 1, . . . , ∞. Často píšeme pouze Ck, je-li
definiční obor znám z kontextu.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Výsledkem derivování polynomu je opět polynom, ale derivací se
vždy o jedničku snižuje jeho stupeň, dostaneme po konečném počtu
derivací nulový polynom. Přesněji řečeno, právě po k + 1
derivacích, kde k je stupeň polynomu, dostaneme nulu.
Samozřejmě pak existují derivace všech řádů, tj. f ∈ C∞(R).
Racionální funkce lomené budou nekonečně diferencovatelné ve
všech bodech svého definičního oboru.
Při konstrukci splajnů jsme pohlídali, aby výsledné funkce byly třídy
C2(R). Jejich třetí derivace budou po částech konstantní funkce.
Proto nebudou splajny patřit do C3(R), přestože jejich všechny
derivace vyšších řádů budou nulové ve všech vnitřních bodech
jednotlivých intervalů v interpolaci. Promyslete si podrobně tento
příklad!
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Zatím máme shromážděny ctyři typy funkcí:
polynomy f definované na celém R s hodnotami v R nebo v C,
racionální funkce f /g definované na celém R kromě nejvýše
konečné množiny kořenů polynomu g ve jmenovateli zlomku, s
hodnotami v R nebo C,
mocninné funkce xb s obecným b ∈ R, definované pro x > 0 a
hodnotami v R,
exponenciální funkce ax o libovolném základu a > 0
definované pro všechna x ∈ R a s hodnotami v R.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Polynomy
Naše nástroje pro výpočet derivací se hodí při diskusi kořenů
polynomů: Předně platí tzv. základní věta algebry:
Theorem
Každý nenulový komplexní polynom f : C → C stupně alespoň
jedna má kořen.
Nutně tedy polynom stupně k > 0 má právě k kořenů včetně
násobností a můžeme jej vždy psát jednoznačně ve tvaru
f (x) = (x − a1)c1
· (x − aq)cq
kde a1, . . . , aq jsou všechny kořeny polynomu f a
1 ≤ c1, . . . , cq ≤ k jsou jejich násobnosti.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Derivací dostaneme
f (x) = c1(x−a1)c1−1
. . . (x−aq)cq
+· · ·+cq(x−a1)c1
. . . (x−aq)cq−1
.
Jestliže je c1 = 1, bude hodnota derivace f v bodě a1 nenulová,
protože první člen výrazu je nenulový, zatímco všechny zbývající po
dosazení hodnoty x = a1 zmizí. Oddobně to bude i s ostatními
kořeny. Ověřili jsme tedy užitečnou vlastnost, že kořen a polynomu
f je vícenásobný tehdy a jen tehdy, když je zároveň kořenem
derivace f .
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Protože polynomy jen zřídka jsou výhradně rostoucí nebo klesající
funkce, nebudou k nim existovat globálně definované inverzní
funkce. Inverzní funkce k polynomu f ale existují na každém
intervalu mezi kořeny derivace f . Tam je derivace polynomu je
nenulová a nemění znaménko. Tyto inverzní funkce nebudou nikdy
polynomy, až na případ polynomů stupně jedna.
U polynomu druhého řádu např. y = ax2 + bx + c vede k formuli
x =
−b ± b2 − 4a(c − y)
2a
,
a inverze tedy existuje (a je dána touto formulí) jen pro x na
intervalech (−∞, − b
2a ), (− b
2a , ∞).
Pro práci s inverzními funkcemi k polynomům nevystačíme s našimi
funkcemi a dostáváme v našem zvířetníku nové přírůstky.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Racionální funkce
Všechny racionální funkce jsou také třídy C∞ ve všech bodech
svého definičního oboru. Jejich derivace se snadno počítá pomocí
formule pro derivaci podílu. Samozřejmě bude také racionální
funkcí.
Inverze také budou jako u polynomů existovat obecně jen lokálně a
jsou novými přírůstky do našeho společenstva funkcí.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Mocninné funkce
Obecnou mocninou funkci není tak snadné zderivovat, i když
bychom mohli věřit, že formulka (xa) = axa−1 známá pro přirozená
a bude platit i pro obecné a. K tomu totiž máme dobrý důvod,
protože ji umíme přímo ověřit pro racionální a = p/q:
Je-li a celé a záporné, pak tvrzení přímo vidíme z věty o složené
funkci:
(x−n
) = ((xn
)−1
) = −(xn
)−2
nxn−1
= −nx−2n+n−1
= −nx−n−1
.
Pokračujme dále s odmocninami, tj. a = 1/q. Pišme
x = h(y) = y1/q, y = xq a počítejme podle věty o derivaci inverzní
funkce
h (y) =
1
q
1
xq−1
=
1
q
y−(q−1)/q
=
1
q
y1/q−1
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Pro obecné racionální a = p/q máme
(xp/q
) = ((x1/q
)p
) = p(x1/q
)p−1 1
q
x1/q−1
=
p
q
xp/q−1
.
Nyní bychom mohli zvládnout důkaz platnosti formule pomocí
spojitosti definice mocninné funkce xa v parametru a. Vrátíme se
raději k důkazu z jiného pohledu za malou chvíli.
Funkce f (x) = x0 = 1 má samozřejmě derivaci nulovou, pro
všechny jiné hodnoty a = 0 je derivace f (x) = axa−1 nenulová. Je
záporná pro a ∈ (−∞, 0), kladná pro a ∈ (0, ∞). Proto je
mocninná funkce na celém definičním oboru x ∈ (0, ∞) klesající v
prvém případě a rostoucí v druhém. Její inverzní funkce je opět
mocninnou funkcí.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Exponenciální funkce
Zbývají nám funkce f (x) = ax . Pokud existuje (ax ) ve všech
bodech x, pak jistě platí
f (x) = lim
∆x→0
ax+∆x − ax
∆x
= ax
lim
∆x→0
a∆x − 1
∆x
= f (0)ax
.
Naopak, pokud existuje derivace v nule, pak tento výpočet ověřuje
existenci derivace v kterémkoliv bodě a dává její hodnotu. Zároveň
jsme ověřili platnost téhož vztahu pro derivace zprava a zleva.
Zdá se proto, že derivace exponenciálních funkcí jsou úměrné
hodnotám s konstantním koeficientem úměrnosti.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Diskutujme derivaci f (0), tj. výraz
lim
x→0
ax − 1
x
a předpokládejme, že naše a > 1. Naším cílem je najít a tak, aby
f (0) = 1.
Z definice ax pomocí suprem množin hodnot s racionálními x
vyplývá, že ax je na celém svém definičním oboru rostoucí. Pro
výpočet derivace zprava stačí dosazovat za x postupně hodnoty
xn = 1/n.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
lim
x→0+
ax − 1
x
= lim
n→∞
a1/n − 1
1/n
.
f (0) = 1, pokud budeme umět s rostoucím n libovolně dobře
přibližovat hodnotu a1/n k hodnotě 1 + 1/n.
Chceme tedy aby bylo a s rostoucím n libovolně přesně
aproximováno hodnotou
an = 1 +
1
n
n
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Z binomického rozvoje je zřejmé, že pro každé kladné číslo b a
přirozené n platí (1 + b)n > 1 + nb, dostáváme proto pro dva po
sobě jdoucí členy naší posloupnosti podíl
(1 + 1
n )n
(1 + 1
n−1)n−1
=
(n2 − 1)nn
n2n(n − 1)
= 1 −
1
n2
n
n
n − 1
> (1−
1
n
)
n
n − 1
= 1.
Je tedy naše posloupnost rostoucí. Zároveň stejným výpočtem
ověříme, že posloupnost čísel
bn = (1 +
1
n
)n+1
= (1 +
1
n
)(1 +
1
n
)n
je klesající a jistě je bn > an.
Ověřili jsme tedy existenci limity poslounosti an (a zároveň vidíme,
že je rovna limitě klesající posloupnosti bn).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Definition
Limita
e = lim
n→∞
1 +
1
n
n
je jedním z nejdůležitějších čísel v matematice (vedle nuly, jedničky
a Ludolfova čísla π). Nazýváme jej Eulerovým číslem e.
Náš postup zároveň ověřil, že existuje derivace v nule zprava
exponenciální funkce ex a je rovna jedné. Proto existuje ve všech
bodech x také derivace zprava a je rovna ex .
Spočteme derivaci zleva pomocí derivací složených funkcí:
lim
x→0−
ex −1
x
= lim
x→0+
e−x −1
−x
= (e0
)−2
e0
= 1.
Derivace zleva i zprava tedy pro funkci f (x) = ex existují ve všech
bodech a jsou si rovny.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Přirozený logaritmus
Exponenciální funkce ex všude dobře definována a kladná, proto
existuje všude i její funkce inverzní. Označujeme ji ln x a říkáme jí
přirozený logaritmus nebo logaritmus se základem e.
Je definována vztahem
eln x
= x.
Z vlastností mocninných funkcí:
ln(x · y) = ln x + ln y, ln xy
= y · ln x.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Derivaci přirozeného logaritmu spočteme podle pravidla pro derivaci
složené funkce (užíváme již, že ex je rovno své derivaci, a také
definiční vztah pro logaritmus):
(ln) (y) = (ln) (ex
) =
1
(ex )
=
1
ex
=
1
y
.
Derivaci obecné exponenciální funkce f (x) = ax můžeme nyní
spočíst takto:
(ax
) = (ex ln a
) = ex ln a
(x ln a) = ax
ln a.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Podobně také můžeme konečně ověřit i formuli pro derivaci obecné
mocninné funkce pro všechny x > 0:
(xa
) = (ea ln x
) = ea ln x
(a ln x) = axa−1
.
Pro obecnou exponenciální funkci ax se základem a = 1, a > 0 také
existuje všude inverzní funkce. Říkáme jí logaritmus při základu
a, píšeme loga x.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
Vlastnosti jednotlivých obyvatelů zvířetníku a jejich vztahy:
funkce definiční
obor
třída derivace inverze
polynomy
f
celé R C∞ f opět poly-
nom
f −1 existuje jen lokálně
a neumíme
obecnou formulí
kubické
splajny h
celé R C2 h je opět
splajn
formule s odmocninami
a jen lokálně
racionální
funkce f /g
celé R mimo
kořeny g
C∞ opět racionální
funkce:
f g−fg
g2
existuje jen lokálně
a neumíme obecnou
formulí
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace a přírůstky ve zvěřinci
funkce definiční
obor
třída derivace inverze
mocninné
funkce xa
interval
(0, ∞)
C∞ funkce
axa−1
existuje všude a
je opět mocninnou
funkcí y1/a
exponenciální
funkce
ax , a > 0,
a = 1
celé R C∞ existuje
všude a je
ln a · ax
logaritmická
funkce loga