Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Drsná matematika II – 7. přednáška
Newtonův a Riemannův integrál funkcí
Jan Slovák
Masarykova univerzita
2. 4. 2012
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Newtonův integrál
3 Riemannův integrál
4 Integrace „po paměti“
5 Integrace per partes a substitucí
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Kde je dobré číst?
vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího
přednášejícího, GOOGLE, atd.
Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné
proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou nebo
komplexní funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci
F (x) = f (x).
Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xi výrazy
f (x)
F(xi+1) − F(xi )
xi+1 − xi
dostáváme součtem
F(b)−F(a) =
n−1
i=0
F(xi+1) − F(xi )
xi+1 − xi
·(xi+1−xi )
n−1
i=0
f (xi )·(xi+1−xi ).
Funkci F nazýváme antiderivace nebo neurčitý integrál k funkci
f .
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Antiderivace reálné funkce f (x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu
vytyčenou grafem funkce f , souřadnou osou x a přímkami x = a,
x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod
osou x!).
Dá se tedy očekávat, že takovou plochu skutečně spočteme jako
rozdíl hodnot antiderivace v krajních bodech intervalu. Tomuto
postupu se také říká Newtonův integrál. Píšeme
b
a
f (x)dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a).
V případě komplexní funkce f je i reálná a imaginární část jejího
integrálu jednoznačně dána reálnou a imaginární částí f , budeme
proto v dalším pracovat výhradně s reálnými funkcemi.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Poznámka
V dalším skutečně ukážeme, že lze rozumně definovat pojem plocha
v rovině tak, aby ji bylo možné počítat právě uvedeným způsobem.
Newtonův integrál má ale jednu podstatnou vadu — jeho vyčíslení
vyžaduje znalost antiderivace. Tu obecně není snadné spočíst i když
ukážeme, že ke všem spojitým funkcím f existuje. Proto budeme
napřed diskutovat jinou definici integrálu.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu
[a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je
F (x) = G (x) = f (x), pak Taylorův rozvoj prvního řádu se
zbytkem v bodě a dává
F(x) − G(x) = F(a) − G(a) + (f (c) − f (c))(x − a) = F(a) − G(a)
na nějakém okolí bodu a. Pokud by ale x0 < b bylo supremem
hodnot, pro které tento vztah ještě platí, opětovnou volbou tohoto
bodu za a dosáhneme rozšíření tohoto vztahu i napravo od něj.
Musí tedy platit na celém intervalu.
S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také
zapisovat ve tvaru
F(t) = f (x)dx + C.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou nebo
komplexní funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci
F (x) = f (x).
Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xi výrazy
f (x)
F(xi+1) − F(xi )
xi+1 − xi
dostáváme součtem
F(b)−F(a) =
n−1
i=0
F(xi+1) − F(xi )
xi+1 − xi
·(xi+1−xi )
n−1
i=0
f (xi )·(xi+1−xi ).
Funkci F nazýváme antiderivace nebo neurčitý integrál k funkci
f .
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Pro definici integrálu využijeme přímo intuitivní úvahy, kterou jsme
právě odůvodňovali souvislost Newtonova integrálu s velikostí
plochy.
Uvažme reálnou funkci f definovanou na intervalu [a, b] a zvolme
dělení tohoto intervalu, spolu s výběrem reprezentantů ξi
jednotlivých částí, tj. a = x0 < x1 < · · · < xn = b a zároveň
ξi ∈ [xi−1, xi ], i = 1, . . . , n. Normou takového dělení nazýváme číslo
min{xi − xi−1}. Riemannův součet odpovídající zvolenému dělení
Ξ = (x0, . . . , xn) a reprezentantům ξ je dán výrazem
SΞ,ξ =
n
i=1
f (ξi ) · (xi − xi−1)
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Řekneme, že Riemannův integrál funkce f na intervalu [a, b]
existuje, jestliže pro každou posloupnost dělení s reprezentanty
(Ξk, ξk) s normou dělení jdoucí k nule existuje limita
lim
k→∞
SΞk ,ξk
= S,
jejíž hodnota navíc nezávisí na volbě posloupnosti dělení a
reprezentantů. Píšeme v takovém případě opět
S =
b
a
f (x)dx.
Tato definice nevypadá příliš prakticky, nicméně nám dovolí
sformulovat a dokázat některé jednoduché vlastnosti Riemannova
integrálu.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Theorem
(1) Je-li f omezená reálná funkce definovaná na reálném intervalu
[a, b] a c ∈ [a, b] nějaký vnitřní bod, potom integrál
b
a f (x)dx
existuje tehdy a jen tehdy když existují oba integrály
c
a f (x)dx a
b
c f (x)dx. V takovém případě pak také platí
b
a
f (x)dx =
c
a
f (x)dx +
b
c
f (x)dx.
(2) Jsou-li f a g dvě reálné funkce definované na intervalu [a, b], a
existují-li integrály
b
a f (x)dx a
b
a g(x)dx, pak existuje také
integrál jejich součtu a platí
b
a
(f (x) + g(x))dx =
b
a
f (x)dx +
b
a
g(x)dx.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Theorem (pokračování)
(3) Je-li f reálná funkce definovaná na intervalu [a, b], C ∈ R
konstanta a existuje-li integrál
b
a f (x)dx, pak existuje také integrál
b
a C · f (x)dx a platí
b
a
C · f (x)dx = C ·
b
a
f (x)dx.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Důkaz.
(1) Předpokládejme nejprve, že existuje integrál přes celý interval.
Při jeho výpočtu se omezíme na limity Riemannových součtů,
jejichž dělení mají bod c mezi svými dělícími body. Každý takový
součet dostaneme jako součet dvou dílčích Riemannových součtů.
Pokud by tyto dílčí součty v limitě závisely na zvolených rozděleních
a reprezentantech, pak by celkové součty nemohly být v limitě na
volbách nezávislé (stačí ponechat jednu posloupnost dělení
podintervalu stejnou a druhou měnit tak, aby se limita změnila).
Naopak, jestliže existují oba integrály na podintervalech, jsou
libovolně přesně aproximovatelné Riemannovými součty a to navíc
nezávisle na jejich volbě. Pokud do libovolné posloupnosti
Riemannových součtů přes celý interval [a, b] přidáme jeden dělící
bod c navíc, změníme hodnotu celého součtu i částečných součtů
přes intervaly patřící do [a, c] a [c, b] nejvýše o násobek normy
dělení a možných rozdílů omezené funkce f na celém [a, b]. To je
libovolně blízko k nule při zmenšující se normě dělení.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
pokračování.
(2) V každém Riemannově součtu se součet funkcí projeví jako
součet hodnot ve vybraných reprezentantech. Protože je násobení
reálných čísel distributivní, vyplývá odtud právě dokazované tvrzení.
(3) Stejná úvaha jako v předchozím případě.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Theorem
Pro každou spojitou funkci f na konečném intervalu [a, b] existuje
její Riemannův integrál
b
a f (x)dx. Navíc, je funkce F(t) zadaná na
intervalu [a, b] pomocí Riemannova integrálu
F(t) =
t
a
f (x)dx
antiderivací funkce f na tomto intervalu.
Důkaz.
Docela složitý, náznak na tabuli . . .
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Poznámky
(1) Předchozí dvě věty nám říkají, že integrál je lineární zobrazení
: C[a, b] → R
vektorového prostoru spojitých funkcí na intervalu [a, b] do reálných
čísel (tj. lineární forma).
(2) Dokázali jsme, že každá spojitá funkce je derivací nějaké funkce.
Newtonův a Riemannův integrál tedy jako koncepty pro spojité
funkce splývají. Riemannův integrál spojitých funkcí lze proto
spočíst pomocí rozdílu hodnot F(b) − F(a) antiderivace F.
(3) V prvním pomocném tvrzení v důkazu předchozí věty jsme
dokázali důležité tvrzení, že pro omezenou funkci f na intervalu
[a, b] vždy existují limity horních součtů i dolních součtů. Říká se
jim také horní Riemannův integrál a dolní Riemannův integrál.
Takto lze pro omezené funkce ekvivalentně definovat i Riemannův
integrál (jak jsme konečně v důkazu i činili).
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Poznámky – pokračování
(4) V dalším tvrzení v důkazu jsme odvodili důležitou vlastnost
spojitých funkcí, které se říká stejnoměrná spojitost na uzavřeném
intervalu [a, b]. Zjevně je každá stejnoměrně spojitá funkce také
spojitá, naopak to ale na otevřených intervalech platit nemusí.
(5) Nechť f je [a, b] spojitá po částech spojitá, tj. všude kromě
konečně mnoha bodů nespojitosti ci , a < ci < b. Vzhledem k
aditivnosti integrálu vůči intervalu přes který se integruje existuje
podle poslední věty v takovém případě integrál F(t) =
t
a f (x)dx
pro t ∈ [a, b] a derivace funkce F(t) existuje ve všech bodech t, ve
kterých je f spojitá. Ve zbývajících bodech je funkce F(t) spojitá,
je to tedy spojitá funkce na celém intervalu [a, b]. Pokud zvolíme
antiderivace tak, aby na sebe navazovaly, pak bude i celý integrál
vyčíslen jako rozdíl v krajních hodnotách.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Neurčitý integrál nám formálně dovoluje spočíst Riemannův integrál
pro každou spojitou funkci. Nicméně prakticky bývá zejména
použitelný tam, kde v integrované funkci umíme derivaci přímo
uvidět. K tomu v jednoduchých případech stačí číst tabulky pro
derivace funkcí v našem zvěřinci naopak.
Dostáváme tak např. následující tvrzení pro všechna a ∈ R a n ∈ Z,
n = −1:
a dx = ax + C
axn
dx =
a
n + 1
xn+1
+ C
eax
dx =
1
a
eax
+C
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
a
x
dx = a ln x + C
a cos bx dx =
a
b
sin bx + C
a sin bx dx = −
a
b
cos bx + C
a cos bx sinn
bx dx =
a
b(n + 1)
sinn+1
bx + C
a sin bx cosn
bx dx = −
a
b(n + 1)
cosn+1
bx + C
a tg bx dx = −
a
b
ln(cos bx) + C
a
a2 + x2
dx = arctg
x
a
+ C
Pozor definiční obor, na kterém je neurčitý integrál dobře definován!
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
K takovýmto tabulkovým hodnotám lze relativně snadno dodávat
další jednoduchými pozorováními vhodné struktury integrovaných
funkcí. Např.
f (x)
f (x)
dx = ln f (x) + C.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Výpočet integrálu pomocí antiderivace (neurčitého integrálu), spolu
s pravidlem
(F · G) (t) = F (t) · G(t) + F(t) · G (t)
pro derivaci součinu funkcí, dává následující formuli pro neurčitý
integrál
F(x) · G(x) + C = F (x)G(x) dx + F(x)G (x) dx.
Tato formule se většinou používá v případě, že jeden z integrálů
napravo máme počítat, zatímco druhý umíme počítat lépe.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Uveďme si nějaké příklady. Nejprve spočteme
I = x sin x dx.
V tomto případě pomůže volba F(x) = x, G (x) = sin x. Odtud
G(x) = − cos x, proto také
I = −x cos x − − cos x dx = −x cos x + sin x + C.
Obvyklým trikem je také použít tento postup s F (x) = 1:
ln x dx = 1 · ln x dx = x ln x −
1
x
x dx = x ln x − x + C.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Je-li F (y) = f (y) a y = ϕ(x), potom
dF(ϕ(x))
dx
= F (y) · ϕ (x)
a tedy F(y) + C = f (y) dy lze spočíst jako
F(ϕ(x)) + C = f (ϕ(x))ϕ (x) dx.
Dosazením x = ϕ−1(y) pak dostaneme původně požadovanou
antiderivaci. Častěji zapisujeme tuto skutečnost takto:
f (y) dy = f (ϕ(x))ϕ (x) dx
a hovoříme o substituci za proměnnou y.
Pro Riemannovy součty je možné substituci porozumět snadno tak,
že přírůstky v proměnné y a v x jsou vzájemně ve vztahu
dy = ϕ (x) dx
který odpovídá vztahu dy
dx = ϕ (x) a snadno jej spočítáme
výpočtem derivace.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Jako příklad:
I =
1
√
1 − x2
dx
zvolíme substituci x = sin t. Odtud dx = cos t dt a dostáváme
I =
1
1 − sin2
t
cos t dt =
1
√
cos2 t
cos t dt = dt = t + C.
Zpětným dosazením t = acrsin x dopočítáme již známý vzorec
I = arcsin x + C.
Při substitucích je třeba dát pozor na skutečnou existenci inverzní
funkce k y = ϕ(x) a při výpočtu určitého integrálu je třeba řádně
přepočítávat i meze.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Často vede použití substitucí a metody per partes k rekurentním
vztahům, ze kterých teprve lze dopočíst hledané integrály.
Spočtěme si alespoň jeden příklad. Metodou per partes počítáme
Im = cosm
x dx = cosm−1
x cos x dx
= cosm−1
x sin x − (m − 1) cosm−2
x(− sin x) sin x dx
= cosm−1
x sin x + (m − 1) cosm−2
x sin2
x dx.
Odtud díky vztahu sin2
x = 1 − cos2 x dostáváme
mIm = cosm−1
x sin x + (m − 1)Im−2
a počáteční hodnoty jsou
I0 = x, I1 = sin x.
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Integrace racionálních funkcí lomených
U racionálních funkcí lomených si můžeme při integraci pomoci
několika zjednodušeními. Zejména v případě, že je stupeň polynomu
f v čitateli větší nebo roven stupni polynomu g v jmenovateli, je
rozumné hned z kraje dělením se zbytkem převést integraci na
součet dvou integrálů. První pak bude integrací polynomu a druhý
integrací výrazu f /g se stupněm g ostře větším, než je stupeň f .
Toho skutečně dosáhneme prostým vydělením polynomů:
f = q · g + h,
f
g
= q +
h
g
.
Můžeme tedy zrovna předpokládat, že stupeň g je ostře větší než
stupeň f .
Literatura Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace „po paměti“ Integrace per partes a substitucí
Další postup si ukažme na jednoduchém příkladě. Zkusme si
rozebrat, jak se dostaneme k výsledku
f (x)
g(x)
=
4x + 2
x2 + 3x + 2
=
−2
x + 1
+
6
x + 2
,
který již umíme integrovat přímo:
4x + 2
x2 + 3x + 2
dx = −2 ln |x + 1| + 6 ln |x + 2| + C.
Především převedením součtu zlomků na společného jmenovatele
tuto rovnost snadno ověříme. Pokud naopak víme, že lze náš výraz
rozepsat ve tvaru
4x + 2
x2 + 3x + 2
=
A
x + 1
+
B
x + 2
a jde nám pouze o výpočet koeficientů A a B, můžeme pro ně
získat rovnice pomocí roznásobení obou stran polynomem
x2 + 3x + 2 ze jmenovatele a porovnáním koeficientů u jednotlivých
mocnin x ve výsledných polynomech napravo i nalevo:
4x + 2 = A(x + 2) + B(x + 1) =⇒ 2A + B = 2, A + B = 4.