Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Drsná matematika II – 9. přednáška Nekonečné řady čísel a funkcí Jan Slovák Masarykova univerzita 16. 4. 2012 Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální kriterium konvergence 3 Posloupnosti a řady funkcí 4 Znovu mocninné řady Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Kde je dobré číst? vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího přednášejícího, GOOGLE, atd. Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2. Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Pomocí nevlastního integrálu také umíme rozhodnout o konvegenci některých nekonečných řad: Theorem (Integrální kriterium konvergence řad) Buď ∞ n=1 f (n) řada taková, že funkce f : R → R je kladná a nerostoucí na intervalu 1, ∞). Pak tato řada konverguje právě tehdy, když konverguje intergrál ∞ 1 f (x) dx. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Důkaz. Pokud interpretujeme integrál, jako plochu pod křivkou, je kriterium názorně vidět. Pokud daná řada diverguje, pak diverguje i řada ∞ n=2 f (n). Pro libovolné k ∈ N máme pro k-tý částečný součet sk (řady bez prvního členu) nerovnost sk = k n=2 f (n) < k 1 f (x) dx, neboť sk je dolním součtem Riemannova integrálu k 1 f (x) dx. Pak ale je ∞ 1 f (x) dx = lim k→∞ k 1 f (x) dx > lim k→∞ sk = ∞, a uvažovaný integrál diverguje. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady pokračování. Předpokládeme nyní, že daný integrál konverguje a označme k-tý částečný součet dané řady jako sk. Potom máme nerovnosti ∞ 1 f (x) dx = lim k→∞ k 1 f (x) dx < lim k→∞ sk < ∞, neboť sk je horním součtem Riemannova integrálu k 1 f (x) dx a předpokádáme, že daná řada konverguje. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Jako příklad použití rozhodněme, pro jaká k konverguje řada Rk = ∞ n=1 1 nk . Všimněme si nejprve, že neumíme o konvergenci rozhodnout na základě podílového či odmocninového kriteria (obě limity lim n→∞ |an+1 an | i lim n→∞ n √ an jsou rovny 1). Pomocí integrálního kriteria pro konvergenci řad dostáváme pro k = 1: ∞ 1 1 xk dx = lim δ→∞ (1 − k)x1−k δ 1 = k − 1 k > 1 ∞ k < 1 a daná řada tedy konverguje pro všechna k > 1 a diverguje pro k < 1. V případě k = 1 je primitivní funkcí logaritmus a integrál i řada opět divergují. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Při budování našeho zvířetníku funkcí jsme zavedli i mocninné řady, které přirozeným způsobem rozšiřují skupinu všech polynomů. S pomocí integrálního počtu konečně půjde ukázat, že je umíme diferencovat a integrovat po jednotlivých sčítancích. Uvažujme konvergentní řadu funkcí S(x) = ∞ n=1 fn(x) na intervalu [a, b]. Přirozené dotazy: Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité v nějakém bodě x0 ∈ [a, b], je spojitá i funkce S(x) v bodě x0? Jsou-li všechny funkce fn(x) diferencovatelné v a ∈ [a, b], je v něm diferencovatelná i funkce S(x) a platí vztah S (x) = ∞ n=1 fn(x)? Jsou-li všechny funkce fn(x) integrovatelné na intervalu [a, b], je integrovatelná i funkce S(x) a platí vztah S(x)dx = ∞ n=1 fn(x)dx? Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Příklady ošklivých posloupností (1) Uvažme nejprve funkce fn(x) = (sin x)n na intervalu [0, π]. Hodnoty těchto funkcí budou ve všech bodech 0 ≤ x ≤ π nezáporné a menší než jedna, kromě x = π 2 , kde je hodnota 1. Proto na celém intervalu [0, π] budou bod po bodu tyto funkce konvergovat k funkci f (x) = lim n→∞ fn(x) = 0 pro všechna x = π 2 1 pro x = π 2 . Zjevně tedy je limita posloupnosti funkcí fn nespojitou funkcí, ačkoliv jsou všechny funkce fn(x) spojité. Problematický je přitom dokonce vnitřní bod intervalu. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Tentýž jev umíme najít i pro řady funkcí, protože součet je limitou částečných součtů. Stačí tedy v předchozím příkladě vyjádřit fn jako n-tý částečný součet. Např. f1(x) = sin x, f2(x) = (sin x)2 − sin x, atd. Levý obrázek vykresluje funkce fn3 (x) pro n = 1, . . . , 10. x 32,5 0,2 1 0,5 0,4 1 20 0,6 1,5 0,8 0 -0,5 0,4 0,2 x 1 -0,4 -0,2 0 0-1 0,5 Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady (2) Podívejme se nyní na druhou otázku, tj. na špatně se chovající derivace. Celkem přirozená je idea na podobném principu jako výše sestavit posloupnost funkcí, které budou mít v jednom bodě stále stejnou nenlovou derivaci, ale budou čím dál tím menší, takže bodově dokonvergují k funkci identicky nulové. Předchozí obrázek napravo vykresluje funkce fn(x) = x(1 − x2 )n na intervalu [−1, 1] pro hodnoty n = m2, m = 1, . . . , 10. Na první pohled je zjevné, že lim n→∞ fn(x) = 0 a všechny funkce fn(x) jsou hladké. V bodě x = 0 je jejich derivace fn(0) = (1 − x2 )n − 2nx2 (1 − x2 )n−1 |x=0 = 1 nezávisle na n. Limitní funkce pro posloupnost fn přitom má samozřejmě všude derivaci nulovou! Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady (3) Protipříklad k třetímu tvrzení jsme už viděli dávno. Charakteristickou funkci χQ racionálních čísel můžeme vyjádřit jako součet spočetně mnoha funkcí, které budou očíslovány právě racionálními čísly a budou vždy všude nulové, kromě jediného bodu, podle které jsou pojmenovány, kde jsou rovny 1. Riemannovy integrály všech takových funkcí budou nulové, jejich součet ale není Riemannovsky inegrovatelnou funkcí. Právě tento příklad ukazuje na zásadní nedostatek Riemannova integrálu, ke kterému se ještě vrátíme. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Vidíme tedy, že odpověď na všechny otázky je „NE!“. Existují však jednoduché dodatečné podmínky na konvergenci řady, které naopak platnosti všech tří tvrzení zajistí. Je třeba jen vyžadovat, aby se rychlost bodové konvergence hodnot fn(x) → f (x) bod od bodu příliš nelišila. Definition Říkáme, že posloupnost funkcí fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] k limitě f (x), jestliže pro každé kladné (malé) číslo existuje (velké) přirozené číslo N ∈ N takové, že pro všechna n ≥ N a všechna x ∈ [a, b] platí |fn(x) − f (x)| < . O řadě funkcí řekneme, že konverguje stejnoměrně na intervalu, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost jejích částečných součtů. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Graficky si definici můžeme představit tak, že do pásu vzniklého posunutím limitní funkce f (x) na f (x) ± pro libovolně malé, ale pevně zvolené kladné , vždy padnou všechny funkce fn(x), až na konečně mnoho z nich. Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Theorem Nechť fn(x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f (x). Pak je také f (x) spojitá funkce na intervalu [a, b]. Důkaz Chceme ukázat, že pro libovolný pevný bod x0 ∈ [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé > 0 bude |f (x) − f (x0)| < pro všechna x dostatečně blízká k x0. Z definice stejnoměrné spojitosti je pro naše > 0 |fn(x) − f (x)| < pro všechna x ∈ [a, b] a všechna dostatečně velká n. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Dokončení důkazu. Zvolme si tedy nějaké takové n a uvažme δ > 0 tak, aby |fn(x) − fn(x0)| < pro všechna x z δ-okolí x0 (to je možné, protože všechny fn(x) jsou spojité). Pak |f (x)−f (x0)| < |f (x)−fn(x)|+|fn(x)−fn(x0)|+|fn(x0)−f (x0)| < 3 pro všechna x z námi zvoleného δ-okolí bodu x0. Theorem Nechť fn(x) je posloupnost Riemannovsky integrovatelných funkcí na konečném intervalu [a, b], které stejnoměrně konvergují k funkci f (x). Pak také f (x) je integrovatelná a platí lim n→∞ b a fn(x) dx = b a ( lim n→∞ fn(x)) dx = b a f (x) dx. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Definition Řekneme, že posloupnost funkcí fn(x) na intervalu [a, b] je stejnoměrně Cauchyovská, jestliže pro každé (malé) kladné číslo existuje (velké) přirozené číslo N takové, že pro všechna x ∈ [a, b] a všechna n ≥ N platí |fn(x) − fm(x)| < . Zřejmě je každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí na intervalu [a, b] také stejnoměrně Cauchyovská na témže intervalu. Toto pozorování nám už stačí k důkazu naší věty, zastavíme se ale napřed u užitečného obráceného tvrzení. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Lemma Každá stejnoměrně Cauchyovská posloupnost funkcí fn(x) na intervalu [a, b] stejnoměrně konverguje k nějaké funkci f na tomto intervalu. Důkaz. Z podmínky na funkce plyne, že pro každé x ∈ [a, b] je fn(x) Cauchyovskou posloupností reálných (případně komplexních) čísel. Bodově tedy konverguje posloupnost funkcí fn(x) k nějaké f (x). Ve skutečnosti fn(x) → f (x) stejnoměrně: Zvolme N tak, aby |fn(x) − fm(x)| < pro nějaké předem zvolené malé kladné a všechna n ≥ N, x ∈ [a, b]. Nyní zvolíme pevně jedno takové n a odhadneme |fn(x) − f (x)| = lim m→∞ |fn(x) − fm(x)| ≤ pro všechna x ∈ [a, b]. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Důkaz věty o záměně limity a integrálu Víme: (1) každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí je také stejnoměrně Cauchyovská, (2) Riemannovy součty pro jednotlivé členy naší posloupnosti konvergují k b a fn(x) dx nezávisle na výběru dělení a reprezentantů. Proto jestliže platí |fn(x) − fm(x)| < pro všechna x ∈ [a, b], pak také b a fn(x) dx − b a fm(x) dx ≤ |b − a|. Je tedy posloupnost čísel b a fn(x) dx Cauchyovská a proto konvergentní. Současně díky stejnoměrné konvergenci posloupnosti fn(x) platí pro f (x) ze stejného důvodu, že její Riemannovy součty jsou libovolně blízké Riemannových součtům pro funkce fn s dostatečně velkým n a limitní funkce f (x) bude tedy opět integrovatelná. Zároveň b a fn(x) dx − b a f (x) dx ≤ |b − a|, musí proto jít o správnou limitní hodnotu. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Pro příslušný výsledek o derivacích je třeba zvýšené pozornosti ohledně předpokladů: Theorem Nechť fn(x) je posloupnost funkcí diferencovatelných na intervalu [a, b], jejichž hodnoty fn(x0) v nějakém bodu x0 tohoto intervalu konvergují k hodnotě f (x0). Dále nechť jsou všechny derivace gn(x) = fn(x) spojité a nechť konvergují na témže intervalu stejnoměrně k funkci g(x). Pak je také funkce f (x) diferencovatelná na intervalu [a, b] a platí zde f (x) = g(x). Důkaz Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že všechny naše funkce splňují fn(x0) = 0 (v opačném případě je pozměníme o konstanty a na výsledku úvah se nic nezmění). Pak ovšem můžeme psát pro všechny x ∈ [a, b] fn(x) = x x0 gn(t) dt. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Pokračování důkazu Protože ale funkce gn stejnoměrně konvergují k funkci g na celém [a, b], tedy tím spíše na intervalech [a, x], kde a ≤ x ≤ b, platí také f (x) = x x0 g(t) dt. Protože je funkce g coby stejnoměrná limita spojitých funkcí opět spojitou funkcí, dokázali jsme vše potřebné, viz Věta o Riemannově integrálu a antiderivaci. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Pro nekonečné řady můžeme předchozí výsledky shrnout takto: Theorem Uvažme funkce fn(x) na intervalu I = [a, b]. (1) Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I a řada S(x) = ∞ n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně k funkci S(x), je i funkce S(x) spojitá na I. (2) Jsou-li všechny funkce fn(x) spojitě diferencovatelné na I, a obě řady S(x) = ∞ n=1 fn(x), T(x) = ∞ n=1 fn(x) konvergují stejnoměrně, pak je také funkce S(x) spojitě diferencovatelná a platí S (x) = T(x), tj. ∞ n=1 fn(x) = ∞ n=1 fn(x). Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Theorem (3) Jsou-li všechny funkce fn(x) Riemannovsky integrovatelné na I a řada S(x) = ∞ n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně k funkci S(x) na I, je tamtéž integrovatelná i funkce S(x) a platí vztah b a ∞ n=1 fn(x) dx = ∞ n=1 b a fn(x) dx. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Test pro stejnoměrnou konvergenci Nejjednodušším způsobem pro zjištění stejnoměrné konvergence funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné posloupnosti. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Předpokládejme tedy, že máme řadu funkcí fn(x) na intervalu I = [a, b] a že navíc známe odhad |fn(x)| ≤ an ∈ R pro vhodné reálné konstanty an a všechna x ∈ [a, b]. Odhadneme rozdíly částečných součtů sk(x) = k n=1 fn(x) pro různé indexy k. Pro k > m: |sk(x) − sm(x)| ≤ k n=m+1 fn(x) ≤ k n=m+1 |fn(x)| ≤ k n=m+1 ak. Pokud je řada (kladných) konstant ∞ n=1 an konvergentní, pak bude posloupnost jejích částečných součtů Caychyovská. Právě jsme proto zjistili, že posloupnost částečných součtů sn(x) je stejnoměrně Caychyovská. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Dokázali jsme tedy: Theorem Nechť fn(x) je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I = [a, b] a platí |fn(x)| ≤ an ∈ R. Je-li řada čísel ∞ n=1 an konvergentní, pak řada S(x) = ∞ n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Důsledky pro mocninné řady Weierstrassův test je velice užitečný pro diskusi mocninných řad S(x) = ∞ n=1 an(x − x0)n se středem v bodě x0. Kdysi jsme ukázali, že každá taková řada konverguje na (x0 − δ, x0 + δ), kde tzv. poloměr konvergence δ ≥ 0 může být také nula nebo ∞. Zejména jsme v důkazu konvergence řady S(x) používali srovnání s vhodnou geometrickou posloupností. Podle Weistrassova testu je proto řada S(x) stejnoměrně konvergentní na každém kompaktním (tj. konečném) intervalu [a,b] uvnitř intervalu (x0 − δ, x0 + δ). Dokázali jsme tedy: Theorem Každá mocninná řada S(x) je ve všech bodech uvnitř svého intervalu konvergence spojitá a spojitě diferencovatelná. Funkce S(x) je také integrovatelná a derivování i integrování lze provádět člen po členu. Literatura Integrální kriterium konvergence Posloupnosti a řady funkcí Znovu mocninné řady Ve skutečnosti platí také tzv. Abelova věta, která říká, že mocninné řady jsou spojité i v hraničních bodech svého definičního oboru (včetně případných nekonečných limit). Tu zde nedokazujeme. Právě dokázané příjemné vlastnosti mocninných řad zároveň poukazují na hranice jejich použitelnosti při modelování závislostí nějakých praktických jevů nebo procesů. Zejména není možné pomocí mocninných řad dobře modelovat po částech spojité funkce. Jak uvidíme v zápětí, je možné pro konkrétněji vymezené potřeby nacházet lepší sady funkcí fn(x) než jsou hodnoty fn(x) = xn. Nejznámějšími příklady jsou Fourierovy řady a tzv. wawelety, které přibolížíme v další kapitole.