Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti Martina Pleváková Black-Scholesův vzorec Pro evropskou call a put opci: Kde Ф je distribuční funkce N(0,1) Proměnné, na nichž závisí hodnota opce Black-Scholes model: K . . . realizační cena Sₒ . . . současná cena PASₒ . . . současná cena PA σ. . . volatilita T. . . čas expirace r . . . bezriziková úroková míra + . . . přímá úměrnost − . . . nepřímá úměrnost r: Put opce je potencionální příjem v budoucnosti, pokud roste r, jeho současná hodnota klesá. Call opce je potencionální výdej v budoucnosti σ: S rostoucí volatilitou šance velkého růstu i velkého poklesuσ: S rostoucí volatilitou šance velkého růstu i velkého poklesu rostou.Majitel call (put) opce profituje z růstu (poklesu), zatímco při poklesu (růstu)je ztráta omezena opční prémií. σ roste → C (P) roste T: Delší čas znamená větší nejistotu (podobně jako u volatility), tedy stejný argument jako pro σ ukazuje, že C a P rostou přímo úměrně T V B.-S. vzorci vystupuje jen součin σ√T, tedy vliv σ a √T je stejný Jištění opční pozice (hedging) Příklad: Banka prodala call opce na 100 000 akcií za 300 000 Kč. Sₒ = 49, K = 50, r = 0,05, σ = 0,2, T = 20 týdnů. Cena opcí je0,05, σ = 0,2, T = 20 týdnů. Cena opcí je 240 000 Kč. Banka tedy prodala o 60 000 dráž než je teoretická hodnota.Jak se může pojistit proti rizikům a zaručit zisk? Zajištění se proti riziku pomocí investice do vhodného instrumentu 1. strategie: Nekrytá pozice (nedělat nic) ST < 50 → neplatí nic, zisk 300 000, opce není uplatněna S > 50 → např. S = 60, musí zaplatitST > 50 → např. ST = 60, musí zaplatit 105 (ST- 50), tzn. ztráta bude 106 - 3·105 = 700 000 Kč Velká rizikovost 2. strategie: Krytá pozice Banka koupí v čase t = 0 100 000 akcií ST < 50 → např. ST = 40, na portfoliu ztratí 900 000 (z opcí má zisk jen 300 000)900 000 (z opcí má zisk jen 300 000) Potenciál pro ztrátu: Pokles ceny PA – prémium z prodeje ST > 50 → např. ST = 51, prodá za 50, ale koupila za 49 → další zisk Růstový potenciál: Prémium z prodeje + rozdíl mezi K a Sₒ Statické strategie Podle B-S vzorce by cena jištění měla být v průměru 240 000, ale strategie 1 a 2 mají velké výkyvy (rozptyl). Pokud chceme držetvelké výkyvy (rozptyl). Pokud chceme držet blízko 240 000, musíme použít dynamické jištění. 3. strategie: Stop-loss strategie (dynamická) Koupíme akcii pokud cena vzroste nad K Jakmile klesne cena pod K, opět prodáme Pro St < K máme nekrytou pozici Pro St > K máme krytou pozici V praxi se nepoužívá Problém Je-li St = K, nevíme, zda cena poroste nebo bude klesat (hypotéza efektivního trhu). Prakticky musíme kupovat pro K + ε aPrakticky musíme kupovat pro K + ε a prodávat pro K − ε. Pro ε → 0 očekávaný počet obchodů půjde do ∞ (vlastnost Brownova pohybu, že protne osu x nekonečně mnohokrát v libovolně malém okolí 0). Každá dvojice obchodů je ztráta 2ε. Lemma Nechť Wt je geom. Wienerův proces a nechť Wtₒ = K. Pak v libovolně malém intervalu (tₒε, tₒ+ε) nabývá proces nekonečně mnohokrátε, tₒ+ε) nabývá proces nekonečně mnohokrát hodnoty K. Pro ε →0 očekávaný počet obchodů jde do ∞. 4. strategie: Delta a ∆∆∆∆-hedging V praxi ∆ měří rychlost změny opční ceny vzhledem ke změně ceny akcie, tj. ∆ = 0… ∆-neutrální portfolio Hodnota takového portfolia se nemění při malém pohybu ceny akcie. Růst S zvyšuje ∆ → jištění funguje jen krátký čas, musíme portfolio rebalancovat (prodej akcií + nákup opcí, nebo naopak) → dynamický ∆-hedging Příklad Nechť ∆ = 0,6 pro Sₒ = 100 a C = 10. Tedy upsání 20 call opcí můžeme jistit koupením 0,6 · 20 = 12 akcií. Zisk (ztráta) za opce je jištěna ztrátou (ziskem) z pozice akcií.pozice akcií. Např. akcie vzroste o 1 Kč → zisk 12 Kč na akciích a ztráta −20 · 0,6 = −12 Kč na opcích (každá opce jde dolů o 0,6 Kč). ∆ opční pozice je 0,6 · (−20) = −12. ∆ pozice v akciích je 12 · 1 = 12. Celková ∆ portfolia je −12 + 12 = 0. Delta portfolia π…hodnota portfolia Nechť portfolio obsahuje w i-té opce, pakNechť portfolio obsahuje wi i-té opce, pak ∆ put je vždy záporný Transakční náklady: pro 1 opci ∆-hedging neúnosně drahý. Pro velké portfolio je schůdný, je třeba jen jedna transakce Příklad Česká banka má 3 pozice v opcích na euro: 1. dlouhou pozici na 105 call opcí s K = 27 Kč a T = 3 měsíce. ∆ = 0,533, 2. krátkou pozici na 2·105 call opcí s K = 28 Kč a2. krátkou pozici na 2·105 call opcí s K = 28 Kč a T = 5 měsíců. ∆ = 0,468, 3. krátkou pozici na 5·104 put opcí s K = 28 Kč a T = 2 měsíce. ∆ = − 0,508. ∆ (1+2+3) = 105 (0,533) − 2·105(0,468) − 5·104(−0,508) = −14 900 Tedy banka může udělat portfolio ∆-neutrální nakoupením 14 900 Euro. Theta θ meří citlivost portfolia (hodnoty opce) na změnu času, t.j. kde Čas je deterministická proměnná,proti plynutí času se nemá cenu jistit. V praxi jako náhražka za Γ. Gamma Γ měří rychlost změny ∆ vzhledem ke změně ceny S, tj. Malé Γ- ∆ se mění pomalu, není třeba tak častoMalé Γ- ∆ se mění pomalu, není třeba tak často rebalancovat pro udržení ∆-neutrálního portfolia Velké Γ- ∆ je citlivé na změny S, častější rebalancování Γ měří křivost Pro dlouhou pozici je Γ > 0 Výpočet: ΓΓΓΓ- neutrální portfolio Pozice v akcii Γ = 0 Potřeba nástroj (např. opce), který má Γ≠0 Γ Γ ΓPřidání w počtu opcí do portfolia Γ = Γₐ + wΓₒ Pro w = - Γₐ / Γₒ dostaneme Γ = 0 (neutrální portfolio) Přidáním opce se změní ∆ portfolia. Musíme ještě změnit pozici v akciích Příklad Uvažujeme ∆ -neutrální portfolio s Γ = −3000. ∆ a Γ opce jsou 0,62 a 1,5. Pak portfolio bude Γ -neutrální, jestliže přidáme dlouhoubude Γ -neutrální, jestliže přidáme dlouhou pozici v 3000/1,5 = 2000 call opcích. Tím se změní ∆ portfolia z 0 na 2000 · 0,62 = 1240. Musíme ještě prodat 1240 akcií, abychom dostali portfolio, které je ∆ -neutrální (a současně Γ -neutrální). Taylorův rozvoj hodnoty portfolia v parametrech Připomenutí: Tayl. polynom 2. stupně pro funkci 2 proměnných Dále Pro π, S, t Obecně: ∆-neutrální: ∆ i Γ-neutrální: Vega ν měří citlivost na změnu volatility, tj. Platí:Platí: Velká ν- velká citlivost portfolia na změny volatility Pozice v akcii ν =0 Γ-neutrální portfolio má obvykle nenulové ν a naopak Γ i ν neutrální portfolio- nejméně 2 různé deriváty na PA Příklad Uvažujme ∆-neutrální portfolio A s Γ(A) = −5000 a ν(A) = − 8000. Obchodovaná opce O má gamma 0,5, vega 2,0 a delta 0,6. Nechť opce O2 má gamma 0,8, vega 1,2 a delta 0,5.0,8, vega 1,2 a delta 0,5. Řešení: Máme-li w opcí O a x opcí O2, chceme: Γ: -5000 + 0,5w + 0,8x = 0 ν: -8000 + 2,0w + 1,2x = 0 Odtud dostaneme w = 400, x = 6000 → Γ, ν neutrální ∆= 400·0,6 + 6000·0,5 = 3240, musíme prodat 3240 akcií, aby bylo portfolio ∆-neutrální Taylorův rozvoj v proměnných S, t, σ Pro ∆, Γ i ν -neutrální: Rho ρ měří změnu hodnoty opce (portfolia) v závislosti na změně úrokové míry. Platí: Vztah mezi ∆∆∆∆, ΘΘΘΘ a ΓΓΓΓ Připomenutí: Black-Scholesova rovnice pro cenu derivátu f (např.: f = C, P, . . . ) Tedy pro hodnotu π portfolia derivátu dostaneme (na jednu stejnou podkladovou akcii) Tedy: Pro ∆-neutrální portfolio: Je-li Θ velké kladné, pak Γ je velké záporné a naopak. V ∆neutrálním portfoliu lze Θ použít jako náhražku Γ. Děkuji za pozornost