Měření
 Přímé měření
 Nepřímé měření
Příprava měření
Měřický proces
Vlastní měření
Přímé měření
Určení hodnoty
Zpracovatelský proces
Úprava hodnoty
Podmínky působící na přímé měření:
1. Metoda měření (deterministické podmínky)
 měřicí zařízení
 postup měření
2. Podmínky při měření (stochastické podmínky)
 skutečný stav měřícího zařízení
 vliv prostředí na měření
 vliv lidského faktoru při měření
1. Metoda měření vyžaduje:
a) měřicí zařízení, což je komplex měřicích přístrojů s jejich přídavnými zařízeními a dalšími
nezbytnými pomůckami a doplňky. Měřicí zařízení musí splňovat parametry požadované
kvality. Kvalitou se z hlediska teorie chyb rozumí u přístrojů především
 citlivost – nejmenší diference hodnot měřené veličiny, která koresponduje
s příslušným dílkem stupnice přístroje,
 replikovatelnost, (schopnost opakovat údaje), stálost distribuční funkce chyb měření
při opakování měření
 přesnost (vnitřní a vnější).
Do parametrů kvality patří i řada dalších, např. složitost obsluhy, poruchovost, energetická
náročnost aj. Zvláštní pozornost si zaslouží zejména možnost pravidelné kontroly některých
parametrů kvality měřicího zařízení, např. porovnávání měřicího zařízení s předepsanými
etalony tzv. komparace.
b) postup měření (technologický postup), což je souhrn postupů, pravidel a podmínek
předepsaných pro danou metodu měření. Postup měření vyžaduje zejména použití všech
předepsaných přístrojů a pomůcek v souladu s návodem či předpisem pro jejich používání.
Důležité je dodržení pořadí a návazností jednotlivých úkonů, dodržení předepsaného či
přiměřeného tempa měření, důsledná registrace všech požadovaných údajů atd.
2 Podmínky při měření
a) Vliv měřícího zařízení
Vliv měřícího zařízení (jeho skutečného stavu) na výsledky měření záleží na:
 celkovém stavu přístrojů, zařízení a pomůcek, zejména na kvalitě prováděné i
provedené údržby (seřízení přístrojů, rektifikace libel aj.),
 "okamžitém" stavu (urovnání přístrojů a měřických latí, zaostření dalekohledu, vnitřní
pnutí v přístrojích a stojanech, vliv nastavení indexů a stupnic a jejich osvětlení, vliv
tzv. mrtvých chodů ustanovek, vliv napětí v bateriích aj.). Velké riziko pro zhoršení
aktuálního stavu přináší rovněž nešetrný transport přístrojů a pomůcek na lokalitu a
zpět. I správně a dobře provedená rektifikace přístroje v laboratoři může být
znehodnocena otřesy při jeho nešetrném transportu na lokalitu.
b) Vliv prostředí
Prostředí ve kterém se měření uskutečňuje se řadí k jedněm z nejvýznamnějších faktorů
ovlivňujících výsledky měření:
 Ovlivnění měřického paprsku nebo signálu. Velká část geodetických měření využívá
některého z druhů elektromagnetické záření (světelné vlny, radiové vlny), které je
výrazně ovlivňováno prostředím, kterým se šíří. Rychlost a směr šíření
elektromagnetických vln jsou závislé na indexech lomu daného prostředí, kde zejména
okamžitý stav atmosféry (troposféry, případně i ionosféry) způsobuje celou řadu jevů
(např. refrakci, difrakci, zpoždění signálu aj.), které jsou proměnlivé s časem a
místem. Vlivem jiných elektromagnetických zdrojů záření působí prostředí na
elektromagnetický signál a způsobuje jeho zašumění, rušení či degradaci.
Nezanedbatelný může být i vliv falešných odrazů signálu, či ohyb světelného paprsku
vlivem blízkých objektů a překážek. Mohou nastat situace, kdy při snížené viditelnosti
(opar, smog, déšť, sněžení, mlha či silné chvění obrazu) se zmenší dosah měřícího
zařízení nebo je měření zcela znemožněno.
 Působení prostředí na měřící zařízení. Prostředí dále působí přímo na měřící přístroje a
některé pomůcky, např. při osvitu přístroje či stojanu přímým sluncem nebo za mrazu
v nich nastávají různá pnutí. Teplota vzduchu ovlivňuje teplotu měřidel (pásem, latí,..)
a tím mění i jejich délku. Silnější vítr způsobuje chvění přístrojů a latí, zvětšuje
průhyb pásma, způsobuje kývání olovnice, či znemožňuje použití slunečníku pro
ochranu přístroje před přímým slunečním zářením. Rovněž málo únosný terén (bláto,
sníh, led, rozměklý asfalt, oranice, tráva apod.) výrazně snižuje stabilitu přístrojů a
pomůcek v průběhu měření. Podobný charakter mají i vibrace v průmyslových
závodech či silný dopravní ruch, které způsobují chvění přístrojů a snižují jejich
stabilitu.
 Prostředí působí i na měřiče a jeho pomocníky, zejména je-li nepříznivé (velké vedro
či chlad, silný vítr, mrholení, déšť, sníh, hluk apod.).
 Slapové změny. Mezi vlivy prostředí řadíme i působení dalších jevů, jako jsou změny
v tíhovém poli vyvolané např. proměnlivou polohou Slunce a Měsíce, působení
magnetického pole Země, vlnění zemské kůry aj., které mají velmi často periodický
charakter.
Při studiu vlivu prostředí na výsledky měření se zkoumají vlivy jednotlivých jejich složek
pokud možno odděleně. Toto studium má obvykle jak teoretickou, tak i experimentální
část, která může mít laboratorní nebo terénní charakter.
c)Vliv lidského faktoru.
Měřič a jeho pomocníci vnášejí do procesu měření lidský faktor. Ten se může projevit
příznivě i nepříznivě. Především se od měřiče očekává, že umí měřit. K tomu účelu musí být
vybaven schopnostmi, znalostmi a zkušenostmi:
 Schopnost. Ne každý člověk je schopen kvalitně měřit. Například při
vyhodnocování fotogrammetrických snímků musí být jejich vyhodnocovatel
obdařen schopností stereoskopického vidění. Při náročných měřeních v
komplikovaném terénu musejí být měřiči i pomocníci dostatečně fyzicky zdatní
apod. S pojmem schopnost bezprostředně souvisí i pojem dovednost. Dovednost je
zjednodušeně řečeno rozvinutá a využitá schopnost. Schopnost a dovednost
ovlivňují výsledky měření obvykle přímo.
 Znalosti se získávají především studiem, ať již řádným, v rámci příslušného
odborného vzdělávání, tak i studiem při řešení teoretických a praktických
problémů. Znalosti působí na kvalitu měření velmi často nepřímo, většinou se
projeví již při výběru vhodné metody měření či volbě postupu měření.
 Zkušenosti jsou užitečné zejména při řešení nestandardních problémů. Měřické
zkušenosti obvykle přinášejí efektivní, ale někdy i netradiční řešení. Nejsou-li
zkušenosti dostatečně doplněné znalostmi, mohou někdy působit i negativně, neboť
svádí k přeceňování praxe na úkor teorie.
 Aktuální fyzický a psychický stav. Lidské jednání je ovlivňováno nejen povahou
člověka a jeho fyzickou kondicí, ale též jeho okamžitým psychickým stavem. Toto
jednání může být ovlivněno momentálními starostmi, problémy, povinnostmi či
potřebami. Určitou roli zde hraje i motivace jedince či skupiny k získání kvalitních
výsledků.
Je-li měřický proces dostatečně citlivý (přesný), pak je schopen změny podmínek
registrovat ve výsledcích měření. Důsledkem je, že při opakovaném měření za
vymezených podmínek obdržíme rozdílné výsledky měření, které se navzájem v malých
mezích liší.
Měřické chyby
Pravé chyby
,~xxii 
Opravy
.ii xxv 
n
x
n
x
xxx
n
x
n
i
i
n


 1
21 )...(
1
Náhodné
chyby
Δ
Menší než objektivně
stanovená mezní
chyba
| εi | ≤ |εmez|
Výsledky měření zatížené
těmito chybami jsou
použity v dalším zpracování
Měřické
chyby
εi
Systematické
chyby
c
Větší než objektivně
stanovená mezní
chyba
| εi | > |εmez|
Výsledky by měly být
z dalšího zpracování
vyloučeny jako
odlehlé hodnoty,
(hodnoty zatížené hrubými
chybami či omyly)
Omyly,
hrubé chyby
Úplné chyby εi = Δi + ci
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ε
f(ε)
σ = 1 σ = 1,5
22
2/
2
1
)( 


 ef
Charakteristiky měření
Střední hodnota
dxxxfXE 

 )()( ,


x
xfxXE )()( ,










p
pl
p
lp
ppp
lplplp
x n
i
i
n
i
ii
n
nn
1
1
21
2211 ...

Variance
)))((()( 2
xEXEXV 
Směrodatná odchylka
.)(XV
Výběrová variance
n
EXElEs ii

2
222
)()))(((


11
)( 2
1
2
2






n
v
n
lx
s
n
i
i
1
2



n
v
s , přesnost jednoho měření
n
s
sx  přesnost aritmetického průměru
Základní střední chyba
22
cm  
Intervaly spolehlivosti
 1  0,68 68% riziko 32%
 2  0,95 95% 5%
 2,5  0,99 99% 1%
Zákony přenášení chyb
y = f (x1 , x2 , … , xk)
)~,,~,~(~
2211 kky xxxfy    .
k
k
y
x
f
x
f
x
f
 ~~~ 2
2
1
1 







 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
~~~ k
k
y
x
f
x
f
x
f
 























 
Příklad 1
Vypočítejme varianci a směrodatnou odchylku funkce součtu n proměnných, které mají stejné
směrodatné odchylky σi = σ , pro i=1,2,…,n .
,, 222222
2
2
1
2
y21  nXXXY nn  
n y
Příklad 2
Vypočítejme varianci a směrodatnou odchylku pro funkci aritmetického průměru z n
proměnných, které mají stejné variance:
nnnn
XXX
n
XY n
2
2
2
2
2
2
2
2
x21
111
),(
1 
 

















  ,
n

 x
Příklad 3
V rovinném trojúhelníku byly změřeny následující veličiny:
strana a =125,45 m s přesností ma= 12 mm,
strana b = 86,48 m s přesností mb = 10 mm,
úhel mezi oběma stranami γ = 58,5685 g
s přesností 1 c
.
Připomeňme, že 1 c
= 100 cc
= 0,01g
= 10mgon.
Vypočítejme střední chybu mP obsahu plochy P určené podle vzorce
sin
2
1
baP  .
Střední chybu určíme ze zákona hromadění středních chyb. Pro její výpočet podle (5.19)
musíme nejprve určit parciální derivace funkce P podle proměnných a, b, γ .
.cotgcos
2
1
,sin
2
1
,sin
2
1


 fPab
P
f
b
P
a
b
P
f
a
P
b
a
P
ba 








Číselné hodnoty parciálních derivací vypočteme tak, že do jejich vztahů dosadíme měřené
veličiny.
P= 4315,68 [m2
]; fa= 34,4016 ; fb =49,9038 ; fγ =3286,28 .
U parciálních derivací nejsou uvedeny jednotky [m] a [m2
], ale musí pro ně platit poznámka
5.1 . Protože je střední chyba mγ vyjádřena v jednotkách mgon, musíme ji převést
na obloukovou míru pomocí ρ (ρmgon
= 63662 mgon).
  2
2
22
2
2
22
222222
cotg





m
Pm
b
P
m
a
Pm
fmfmfm babbaaP





















 .
.68566,026620,024904,017042,0
)000157,0()28,3286()010,0()9038,49()012,0()4016,34( 2222222

Pm
82,068566,0 Pm [m2
].
Vzhledem k velikosti střední chyby obsah plochy zaokrouhlíme na celé m2
,
Výsledek je také možno psát ve tvaru P = ( 4316 ± 0,8 ) m2
.