Zadání DU do BI 7440 Předpovídání kulminace výskytu sezónní chřipky Jedna z nejběžnějších nemocí (v mírném pásmu / na severní polokouli), kterou prodělal ve svém životě snad každý člověk, se pravidelně ve větší míře vyskytuje v období od listopadu do dubna. Například v USA dostane podle odhadů chřipku mezi 5 až 20 procenty populace, přičemž přibližně 36 000 lidí nemoci podlehne. V ČR onemocní chřipkou přibližně stejné procento populace jako v USA, počet úmrtí se přitom pohybuje v desítkách (až k jednomu stu) [2, 3]. Pro předpovídání kulminace výskytu chřipky u obyvatel České republiky vytvoříme klasický kompartmentový model, v němž rozdělíme populaci do skupin. Budeme používat následující označení: S ... počet náchylných lidí, tj. zdravých lidí, kteří nemají proti chřipce imunitu a mohou jí onemocnět A ... počet infekčních lidí bez symptomů nemoci I ... počet infekčních lidí se symptomy nemoci R ... počet uzdravených lidí, tj. těch, kteří nemoc již prodělali a jsou proti nemoci nadále imunní V ... počet očkovaných lidí, tj. lidí, kteří nemoc neprodělali, ale díky očkování jsou vůči ní imunní D ... počet zesnulých lidí, tj. těch, kteří nemoci podlehli Předpoklady: • člověk může během sledovaného období (listopad až duben) onemocnět chřipkou nejvýše jednou, • očkovaný člověk je během sledovaného období plně imunní (nemůže onemocnět chřipkou) • všichni lidé z libovolné (ale pevně zvolené) skupiny jsou si rovni (tj. např. nehledě na jejich věk či zdravotní stav) • N , tj. počet obyvatel ČR, je během sledovaného období konstantní a platí pro něj: N = S(t) + A(t) + I (t) + R(t) + D(t) pro libovolné t ∈ R, t ≥ 0. • přechod člověka z jedné skupiny do jiné závisí pouze na konstantním parametru a velikosti skupiny, z níž přechází, s výjimkou přechodu ze skupiny náchylných lidí do skupiny infekčních lidí bez symptomů nemoci, který je tím častější, čím více je infekčních lidí. Vytvořte program v Maple (Matlab), který vykreslí grafy řešení: • jaký sezónní průběh bude chřipka mít • kolik lidí celkem prodělá onemocnění • jak bude ovlivněn počet nemocných (případně průběh onemocnění) počtem očkovaných lidí a jak na tom bude záviset počet zesnulých (při různé „síle" nemoci) • citlivosti parametrů modelu a neurčitost vypočteného řešení Matematický model Na základě zmíněných předpokladů sestavíme model. Čas budeme přitom chápat jako spojitou veličinu1. Parametry α, β, γ, δ, κ a µ vystupující v modelu nechť jsou nezáporná reálná čísla nejvýše rovná jedné (z příslušné skupiny se nemůže přesunout do jiné více lidí, než kolik jich tam je). N S´(t) = − β · S(t) · A(t)+I (t) − µ · S(t) N A´(t) = β · S(t) · A(t)+I (t) − (α + κ + µ) · A(t) I´ (t) = α · A(t) − (γ + δ) · I (t) R´(t) = γ · I (t) + κ · A(t) V´(t) = µ · (S(t) + A(t)) D´(t) = δ · I (t) (1) Počáteční podmínka bude tvořena stavem na začátku sledovaného období, pro něž t = 0. Nechť S(0) = S0 (10^7), A(0) = A0 (10^4), I (0) = I 0 (0.5 10^5), R(0) = R0 (0), V(0) = V0 (150), D(0) = D0 (0). Hodnoty parametrů byly odhadnuty na základě existující literatury: SZU, UZIS, MZCR, Hygienu, CZSO (ČSÚ), [3]. α = 0.5, β = 0.4166667, γ = 0.2, δ = 0.1190476 10^-4, κ = 0.9 a µ = 0.2873563 10^-3 Literatura [1] Hřebíček, J., Pospíšil, Z., Urbánek, J.: Úvod do matematického modelování s využitím Maple. CERM, Brno (2010) [2] Petráš, M.: Očkování proti chřipce. http://www.vakciny.net/doporucene_ockovani/ chripka.html [3] Prosper, O., Saucedo, O., Thompson, D., Torres-Garcia, G., Wang, X., Castillo- Chavez, C.: Modeling Control Strategies for Concurrent Epidemics of Seasonal and Pandemic H1N1 Influenza. Mathematical Biosciences and Engineering (2011)