1.2.1.2 Skalární součin, úhel vektorů

Pro libovolné vektory \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n, \vec{u} = (u_1,u_2, \dots, u_n), \vec{v} = (v_1,v_2, \dots, v_n)\) rozumíme skalárním součinem vektorů \(\vec u\) a \(\vec v\) číslo

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + \dots + u_n \cdot v_n = \sum \limits_{i=1}^{n}u_i \cdot v_i \) (3).

Skalární součin tedy získáme tak, že vynásobíme jednotlivé složky příslušných vektorů. Protože složky vektorů jsou reálná čísla a násobení reálných čísel je komutativní, lze snadno odvodit, že \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\) (skalární součin je také komutativní).

A jaký je geometrický význam skalárního součinu? Pro skalární součin dvou vektorů platí:

\( \vec{u} \cdot \vec{v}= |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \) (4),

kde \(\alpha\) je úhel, který tyto dva vektory svírají.

[figure] — **Obr. 1:** Geometrický význam skalárního součinu - odchylka vektorů. V prvních dvou případech je odchylka zřejmá. Ve třetím případě stačí pro nenulové vektory \(\vec{u}, \vec{v}\) vyjádřit ze vzorce \(cos \alpha \) (viz následující definice) a následně \(\alpha\).

Úhlem (odchylkou) dvou nenulových vektorů \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n\) rozumíme úhel \({\color{DarkBlue} {\alpha}} \in \langle 0, \pi \rangle\) daný vztahem

\( \cos \alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \) (5).

Uvedený vztah pro odchylku dvou vektorů využijeme např. v případě, že máme zadány body trojúhelníka a potřebujeme určit vnitřní úhly V chemii nám vzorec může pomoci při určení velikostí vazebných úhlů. .

Odchylku vektorů \(\vec{u}=(-1,2,-2), \vec{v}=(3,0,1)\) získáme snadno dosazením do vzorce:

\(\cos \alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{(-1,2,-2) \cdot(3,0,1)} {|(-1,2,-2)| \cdot |(3,0,1)|} = \dfrac{-3+0-2}{\sqrt{1+4+4} \cdot \sqrt{9+0+1}} = \dfrac{-5}{3 \sqrt{10}}\)

\(\alpha = \arccos \dfrac{-5}{3 \sqrt{10}}\)

\(\alpha = \underline{ \underline{121^\circ\,41'}}\) Podobně se počítá odchylka přímek a jiných útvarů, avšak v takovém případě se bere úhel v rozmezí \(\langle 0^\circ, 90^\circ \rangle\) - viz (3). .

Vztah (5) využijeme také v případě, máme-li určit, zda je odchylka mezi vektory speciální - a to \(90^\circ\). Platí, že \(\cos90^\circ = 0\) a tedy je pro takové vektory skalární součin (podle (4)) roven \(0\). Pokud jste porozuměli, snadno si zapamatujete následující definici.

Dva vektory \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n\) nazveme kolmé (ortogonální), je-li

\( \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \) (6).