1.2.2 Řešené příklady
1. Vektorový součin, velikost vektoru
Určete obsah trojúhelníka \(ABC\), je-li: \(A[-1,-2,1], B[2,0,2]\) a \(C[1,1,1]\).
Řešení:
Vzpomeneme-li si na geometrický význam vektorového součinu, víme (podle (10)), že pro lineárně nezávislé vektory \(\vec{u}, \vec{v}\) udává \(|\vec{w}| = |\vec{u} \times \vec{v}|\) obsah rovnoběžníka, jehož strany tvoří vektory \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\). Obsah trojúhelníka bude roven polovině obsahu rovnoběžníka:
![[figure]](images/obsah_trojuhelnika.png)
\[S_\triangle = \dfrac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|\]
\[\vec{u} = \vec{AB} = (3,2,1), \vec{v} = \vec{AC} = (2,3,0)\]
![[figure]](images/vektorovy_soucin_3-2-1_2-3-0.png)
\(\vec{u} \times \vec{v}=(-3,2,5)\).
Velikost vektorového součinu vypočteme podle vzorce (1) určujícího velikost vektoru:
\[ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-3)^2+2^2+5^2} = \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38} \]
\(S_\triangle = \dfrac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| = \underline{\underline{\dfrac{\sqrt{38}}{2}}}\).
2. Objem rovnoběžnostěnu
Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu \(ABCDEFGH\), je-li: \(A[1,2,1], B[7,3,0], D[-1,5,2]\) a \(E[1,0,6]\).
Řešení:
Pro objem \(V\) rovnoběžnostěnu (podle (13)) platí: \(|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\), kde \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) jsou tři vektory se společným počátečním bodem. Pokud si nakreslíme obrázek znázorňující naši situaci a vyznačíme v něm zadané body, vidíme, že všechny tři vektory potřebné pro určení objemu můžeme snadno vypočítat ze zadaných bodů.
![[figure]](images/objem_rovnobeznostenu_pr2.png)
\[\vec{a} = \vec{AB} = (6,1,-1), \vec{b} = \vec{AD} = (-2,3,1), \vec{c}= \vec{AE} = (0,-2,5)\]
\[(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \overset{\mathrm{(12)}}{=} \left|\begin{array}{rrr} 6 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{array}\right| = 90+0-4-0+12+10 = 108\]
\[V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} | = |108| = \underline{\underline{108}}\]
Objem rovnoběžnostěnu je tedy roven 108.
3. Velikost vektoru, úhel vektorů, vektorový součin
Je dán trojúhelník \(XYZ\), kde \(X[0,1,4], Y[0,-2,1]\) a \(Z[-3,-2,4]\). Vypočtěte obvod, obsah a velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníka.
Řešení:
Znázorníme si trojúhelník \(XZY\). Vektory, které leží v jeho stranách, si označíme \(\vec{u}, \vec{v}\) a \(\vec{w}\).
![[figure]](images/obsah_trojuhelnika_pr3.png)
Vektory snadno vypočteme:
\(\vec{u} = \vec{XY} = (0,-3,-3), \vec{v} = \vec{XZ} = (-3,-3,0), \vec{w} = \vec{YZ} = (-3,0,3)\).
Pro obvod trojúhelníka bude platit:
\(o = |\vec{u}| + |\vec{v}| + |\vec{w}|\).
Velikosti jednotlivých vektorů určíme posle vzorce (1):
\[|\vec{u}| = \sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2} = \sqrt{0+9+9} = \sqrt{18}\]
\[|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2} = \sqrt{9+9+0} = \sqrt{18}\]
\(|\vec{w}| = \sqrt{(-3)^2+0^2+(-3)^2} = \sqrt{9+0+9} = \sqrt{18}\).
Dosazením do vzorce již snadno určíme obvod trojúhelníka:
\(o = |\vec{u}| + |\vec{v}| + |\vec{w}| = \sqrt{18} + \sqrt{18} + \sqrt{18} = 3\sqrt{18} = \underline{\underline{9\sqrt{2}}}\).
Obsah trojúhelníka spočítáme (stejně jako v příkladu 1) jako polovinu obsahu příslušného rovnoběžníka, jehož strany tvoří vektory \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\). Podle vzorce (10) platí:
\[S_\triangle = \dfrac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|\]
![[figure]](images/vektorovy_soucin_0--3--3_-3--3-0.png)
\(\vec{u} \times \vec{v}=(-9,9,-9)\).
\[ |\vec{u} \times \vec{v}| \overset{\mathrm{(1)}}{=} \sqrt{(-9)^2+9^2+(-9)^2} = \sqrt{3 \cdot 9^2} = 9\sqrt{3} \]
\(S_\triangle = \dfrac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| = \underline{\underline{\dfrac{9\sqrt{3}}{2}}}\).
Velikost vnitřních úhlů trojúhelníka bychom mohli určit podle vzorce (5) udávajícího úhel mezi jednotlivými vektory. Pokud jsme však byli při počítání předchozích částí pozorní, mohli jsme si povšimnout, že velikosti všech tří vektorů \(\vec{u}, \vec{v}\) a \(\vec{w}\) jsou si rovny. To znamená, že zadaný trojúhelník je rovnostranný. V rovnostranném trojúhelníku platí, že velikost všech vnitřních úhlů je rovna \(\underline{\underline{60^\circ}}\).