Určete vzájemnou polohu přímek \(AB\) a \(CD\), je-li: \(A[2,-5,-2], B[0,-3,0], C[4,1,2]\) a \(D[-1,-2,1]\).
Řešení:
Určíme směrové vektory obou přímek:
\(\vec{AB}=(-2,2,2), \vec{CD}=(-5,-3,-1)\).
Směrové vektory nejsou lineárně závislé, a proto přímky \(AB\) a \(CD\) nejsou rovnoběžné.
Nyní potřebujeme určit počet společných bodů těchto přímek. Sestavíme jejich parametrické rovnice:
\(p: \begin{array}{ccrcr} x &= &2 &- &2t \\ y &= &-5 &+ &2t \\ z &= &-2 &+ &2t \end{array}; \quad t\in \mathbb{R} \qquad q: \begin{array}{ccrcr} x &= &4 &- &5s \\ y &= &1 &- &3s \\ z &= &2 &- &s \end{array}; \quad s\in \mathbb{R}\).
Souřadnice průsečíku musí vyhovovat jak parametrickým rovnicím přímky \(AB\), tak parametrickým rovnicím přímky \(CD\). Musí tedy platit:
\(p \cap q: \begin{array}{rrrrrrr} 2 &- &2t &= &4 &- &5s \\ -5 &+ &2t &= &1 &- &3s \\ -2 &+ &2t &= &2 &- &s \end{array}\).
Po úpravě dostaneme soustavu tří lineárních rovnic o dvou neznámých:
\(\begin{array}{rrrrr} 5s &- &2t &= &2 \\ 3s &+ &2t &= &6 \\ s &+ &2t &= &4 \end{array}\).
Tuto soustavu můžeme řešit Gaussovou eliminační metodou. Nebo sečtením prvních dvou rovnic dostáváme:
\((1)+(2): 8s = 8 \quad \Rightarrow \quad s=1\).
Dosazením hodnoty proměnné \(s\) do první rovnice (můžeme zvolit i druhou rovnici) dostáváme \(t=\frac{3}{2}\).
Hodnoty proměnných \(t,s\) dosadíme do třetí rovnice: \(1+3 =4\).
Pokud získáme, stejně jako v našem příkladu, platnou rovnost, bude mít daná soustava právě jedno řešení - průsečík \(P\) přímek \(AB\) a \(CD\). Přímky tedy budou různoběžné Pokud bychom dostali neplatnou rovnost, byly by přímky mimoběžné. .
Souřadnice průsečíku získáme dosazením parametru \(t=\frac{3}{2}\) do parametrických rovnic přímky \(AB\), nebo také dosazením parametru \(s=1\) do parametrických rovnic přímky \(CD\). Pokud budeme počítat správně, vyjdou souřadnice průsečíku \(P\) v obou případech stejně: \(\underline{\underline{P[-1,-2,1]}}\).
Určete, zda jsou přímky \(AB\) a \(CD\) z příkladu 1 kolmé.
Řešení:
Abychom určili zda jsou zadané přímky kolmé, stačí zjistit, zda svírají úhel \(90^\circ\). To lze určit pomocí odchylky směrových vektorů \(\vec{AB}=(-2,2,2), \vec{CD}=(-5,-3,-1)\). Podle vzorce (6) platí, že dva vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule. Určíme tedy skalární součin daných vektorů:
\((-2,2,2) \cdot(-5,-3,-1)=10-6-2=2 \neq 0\)
Dané směrové vektory tedy nejsou kolmé, proto nejsou kolmé ani přímky \(AB\) a \(CD\).