Nalezněte úhel, který spolu svírají přímky \(p\) a \(q\), je-li:
\(p: \begin{array}{ccrcrcrcc} x &+ &y &- &z &- &1 &= &0\\ 2x &+ &3y &- &z &+ &1 &= &0 \end{array}\),
\(q: \begin{array}{ccrcrcrcc} 3x &- &y &- &z &+ &2 &= &0\\ 2x &+ &y & & & & &= &0 \end{array}\).
Řešení:
Určíme směrové vektory obou přímek. Přímku \(p\) resp. \(q\) si lze představit jako průsečnici dvou rovin uvedených v obecné rovnici dané přímky. Směrový vektor přímky je kolmý k normálovým vektorům rovin z příslušné obecné rovnice. Proto jej můžeme snadno vypočítat pomocí vektorového součinu (podle (7)):
\(\vec{u_p}=(1,1,-1) \times (2,3,-1) = (2,-1,1)\),
\(\vec{u_q}=(3,-1,-1) \times (2,1,0) = (1,-2,5)\),
Úhel, který přímky svírají určíme podle úhlu, který svírají jejich směrové vektory, tj. podle (3):
\(\cos \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{|(2,-1,1) \cdot(1,-2,5)|} {|(2,-1,1)| \cdot |(1,-2,5)|} = \dfrac{|2+2+5|}{\sqrt{4+1+1} \cdot \sqrt{1+4+25}}\)
\(= \dfrac{9}{\sqrt{6} \sqrt{6\cdot5}} = \dfrac{9}{6\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{10}\)
\(\alpha = \dfrac{3\sqrt{5}}{10}\)
\(\alpha = \underline{ \underline{47^\circ\,52'}}\).