Připomeňme si, že čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a jinde má všechny prvky nulové, se nazývá jednotková matice a značí se \({\color{DarkBlue} {E}}\). Jednotková matice je "jedničkou" vzhledem k násobení čtvercových matic - pokud s ní vynásobíme jinou matici, výsledkem je příslušná matice: \(A \cdot E = E \cdot A = A\).
Nechť \(A\) je čtvercová matice řádu \(n\), \(E\) je jednotková matice také řádu \(n\). Matice \({\color{DarkBlue} {A^{-1}}}\) s vlastností
\( AA^{-1} = A^{-1}A = E, \) (2)
se nazývá inverzní matice k matici \(A\).
Inverzní matice k dané matici nemusí vždy existovat. Dá se dokázat, že k dané matici \(A\) existuje právě jedna matice inverzní, pokud pro determinant původní matice platí \(|A| \neq 0\) Matice \(A\) s vlastností \(|A| \neq 0\) se nazývá regulární matice. . Jak ale inverzní matici najít?
Zapíšeme zadanou matici \(A\), ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice").
Ekvivalentními úpravami (EÚ) převedeme "levou matici" \(A\) na schodovitý tvar. Přitom nezapomeneme pracovat i s prvky pravé matice.
Následně pomocí EÚ vytvoříme nuly i nad hlavní diagonálou levé matice. Opět nezapomeneme pracovat i s prvky pravé matice.
Na závěr pomocí EÚ vytvoříme z levé matice matici jednotkovou (pokud nedostaneme jednotkovou matici rovnou v kroku 3, tak jednotlivé řádky celkové vydělíme nenulovými čísly tak, aby levá matice měla v hlavní diagonále samé jedničky).
Po provedení kroků (1)-(4) se inverzní matice k zadané matici nachází na místě pravé matice.
Celý postup můžeme souhrnně označit jako: \((A|E) \sim \dots \sim (E|A^{-1})\).
Nechť \(A\) je čtvercová matice řádu \(n\) taková, že \(|A| \neq 0\). Pak
\( A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \vdots & & &\vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{pmatrix}^T, \) (3)
kde \(A_{ij}\) je tzv. algebraický doplněk k prvku \(a_{ij}\) v původní matici \(A\), který se vypočte jako \((-1)^{i+j}|\overline{A_{ij}}|\), přičemž \(|\overline{A_{ij}}|\) je determinant submatice získané z matice \(A\) vynecháním \(i\)-tého řádku a \(j\)-tého sloupce.