Určete inverzní matici k matici \(A=\left(\begin{array}{rrr} 6 & -4 & -17 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & -6 \end{array}\right)\).
Řešení:
Budeme postupovat přesně dle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav.
Zapíšeme zadanou matici \(A\), ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"):
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} 6 & -4 & -17 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 2 & -1 & -6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\).
Pomocí EÚ převedeme "levou matici" \(A\) na schodovitý tvar. Z hlediska těchto úprav bude vhodné umístit 2. řádek na místo 1. řádku (v levém rohu matice mít číslo -1). 1. řádek pak vynásobíme šesti a přičteme k 2. řádku, dále vynásobíme 1. řádek číslem \(2\) a přičteme k 3. řádku. Přitom nezapomeneme pracovat i s prvky "pravé matice":
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -4 & -17 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right)\).
Z hlediska dalších úprav bude výhodné prohodit 2. a 3. řádek:
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 6 & 0 \end{array}\right)\).
Následně vynásobíme 2. řádek číslem \(-2\) a přičteme k 3. řádku. Tím dostaneme matici ve schodovitém tvaru:
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 6 & 0 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right)\).
Nyní je třeba vytvořit nuly i nad hlavní diagonálou "levé matice". 2. řádek matice je z hlediska této úpravy ve vhodném tvaru. V 1. řádku matice získáme nejdříve \(0\) na pozici \(a_{13} = 3\) a to tak, že vynásobíme 3. řádek číslem \(-3\) a přičteme ho k 1. řádku:
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 0 & -3 & -5 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right)\).
Dále potřebujeme získat v 1. řádku matice \(0\) na pozici \(a_{12} = 1\) a to tak, že vynásobíme 2. řádek číslem \(-1\) a přičteme ho k 1. řádku:
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 1 & 0 & -3 & -5 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 0 & 0 & -3 & -7 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right)\).
Nyní z "levé matice" vytvoříme jednotkovou matici - stačí vynásobit první řádek číslem \(-1\):
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 0 & 0 & -3 & -7 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 3 & 7 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{array}\right)\).
A jsme hotovi - inverzní matice k zadané matici se nachází na místě "pravé matice", tj.
\(A^{-1}= \underline {\underline {\left(\begin{array}{rrr} 3 & 7 & -5 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right)}}\).
Určete inverzní matici k matici \(A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}\right)\) pomocí ekvivalentních úprav.
Řešení:
Opět budeme postupovat podle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav.
Zapíšeme zadanou matici \(A\), ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"):
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\).
Pomocí EÚ převedeme "levou matici" \(A\) na schodovitý tvar. 1. řádek matice vynásobíme číslem \((-1)\) a přičteme k 2. a 3. řádku. Nezapomeneme přitom pracovat i s prvky "pravé matice":
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)\).
Následně vynásobíme 2. řádek číslem \(2\) a přičteme k 3. řádku. Tím dostaneme matici ve schodovitém tvaru:
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -4 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right)\).
Nyní je třeba vytvořit nuly i nad hlavní diagonálou "levé matice". Abychom vytvořili \(0\) na místě \(a_{23}=-3\), vynásobíme 3. řádek číslem \(-3\) a přičteme ho k \(4\)-násobku 2. řádku. Dále také přičteme 3. řádek k 1. řádku:
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -4 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 5 & -2 & -3\\ 0 & 0 & -4 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right)\).
Nyní z "levé matice" vytvoříme jednotkovou matici - stačí vynásobit 2. a 3. řádek číslem \(\frac{-1}{4}\):
\(\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 5 & -2 & -3\\ 0 & 0 & -4 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{array}\right)\).
A jsme hotovi - inverzní matice k zadané matici se nachází na místě "pravé matice", tj.
\(A^{-1}= \underline {\underline {\left(\begin{array}{rrr} -2 & 2 & 1 \\ -\frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}\\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{array}\right)}}\).
Určete inverzní matici k matici \(A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}\right)\) pomocí algebraických doplňků.
Řešení:
Opět budeme postupovat podle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí algebraických doplňků - podle (3) vypočteme inverzní matici jako:
\(A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \vdots & & &\vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{pmatrix}^T\).
Nejdříve vypočteme determinant matice A (dle Sarussova pravidla):
\(|A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} \)
\(|A|=\left|\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}\right|= -6+0+8+4-2-0=4\)
Nyní postupně vypočteme jednotlivé algebraické doplňky:
\(A_{11}=(-1)^{1+1} \left|\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 2 & 6 \end{array}\right|= + (-6-2) = -8\)
\(A_{12}=(-1)^{1+2} \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 6 \end{array}\right|= - (6-1) = -5\)
\(A_{13}=(-1)^{1+3} \left|\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{array}\right|= + (2+1) = 3\)
\(A_{21}=(-1)^{2+1} \left|\begin{array}{rr} 0 & 4 \\ 2 & 6 \end{array}\right|= - (0-8) = 8\)
\(A_{22}=(-1)^{2+2} \left|\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 1 & 6 \end{array}\right|= + (6-4) = 2\)
\(A_{23}=(-1)^{2+3} \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right|= - (2-0) = -2\)
\(A_{31}=(-1)^{3+1} \left|\begin{array}{rr} 0 & 4 \\ -1 & 1 \end{array}\right|= + (0+4) = 4\)
\(A_{32}=(-1)^{3+2} \left|\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array}\right|= - (1-4) = 3\)
\(A_{33}=(-1)^{3+3} \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right|= + (-1-0) = -1\)
Vypočtené algebraické doplňky dosadíme do vzorce (3) s tím, že matici ve vzorci rovnou transponujeme, tj. prvky \(A_{11}, A_{12}\) a \(A_{13}\) zapíšeme do 1. sloupce, prvky \(A_{21}, A_{22}\) a \(A_{23}\) do 2. sloupce a prvky \(A_{31}, A_{32}\) a \(A_{33}\) do 3. sloupce:
\(A^{-1} = \dfrac{1}{4} \left(\begin{array}{rrr} -8 & 8 & 4 \\ -5 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & -1 \end{array}\right) = \underline {\underline {\left(\begin{array}{rrr} -2 & 2 & 1 \\ -\frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}\\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{array}\right)}}\).