Již dříve jsme se setkali s určitým charakteristickým číslem dané matice - determinantem. V této části se budeme zabývat hledáním jiných charakteristických čísel - \(\lambda\), které jsou řešením rovnice \(A \vec{u} = \lambda \vec{u}\), kde \(A\) je zadaná matice řádu \(n\). Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací, nejen v matematice, ale třeba v kvantové chemii.
Nechť \(A = (a_{ij})\) je matice řádu \(n\), kde \(a_{ij} \in \mathbb{C}\). Číslo \(\lambda \in \mathbb{C}\) se nazývá vlastní nebo charakteristické číslo matice \(A\), jestliže splňuje pro některý nenulový vektor \(\vec{u}\) rovnici
\( A \vec{u} = \lambda \vec{u}. \) (1)
Vektor \({\color{DarkBlue} {\vec{u}}}\) se nazývá vlastní nebo charakteristický vektor příslušný k \({\color{DarkBlue} {\lambda}}\).
Maticovou rovnici \(A \vec{u} = \lambda \vec{u}\) lze dále upravit:
\(A \vec{u} - \lambda \vec{u} = 0\)
\( (A - \lambda E) \vec{u} = 0. \) (2)
\((A - \lambda E) \vec{u} = 0\) je homogenní soustava \(n\) lineárních rovnic o \(n\) neznámých Místo \(0\) na pravé straně rovnice by se přesněji měl psát nulový vektor \(\vec{o}\). . Protože podle předpokladu musí být vlastní vektor nenulový (dle jeho definice), musí mít soustava nenulové řešení. To je splněno za podmínky, že determinant matice soustavy \(|A - \lambda E| = 0\).
Nechť \(A = (a_{ij})\) je matice řádu \(n\), kde \(a_{ij} \in \mathbb{C}\).
Rovnice
\( {\color{DarkBlue} {|A - \lambda E| = 0}} \) (3)
se nazývá charakteristická rovnice matice \(A\), determinant \({\color{DarkBlue} {|A - \lambda E|}}\) se nazývá charakteristický polynom matice \(A\).
Řešením charakteristické rovnice jsou vlastní čísla matice \(A\). Jelikož charakteristický polynom je \(n\)-tého řádu, řešením charakteristické rovnice dostaneme \(n\), ne nutně různých, vlastních čísel matice \(A\).