Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice \(\left( \begin{array}{rr} 3 & -1\\ 2 & 0 \end{array}\right )\).
Řešení:
Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice \(A\) (podle (3)):
\(\begin{array}{rcl} \left| \left( \begin{array}{rr} 3 & -1\\ 2 & 0 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{rr} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{array}\right) \right| &= &0 \\ \left| \begin{array}{rr} 3-\lambda & -1\\ 2 & -\lambda \end{array} \right| &= &0 \end{array}\) Charakteristickou rovnici tedy snadno získáme rovnou tak, že v determinantu matice \(A\) odečteme \(\lambda\) na hlavní diagonále.
\(\begin{array}{rcl} (3-\lambda)(-\lambda)-(-1)2 &= &0 \\ -3\lambda+{\lambda}^2+2 &= &0 \\ {\lambda}^2 -3\lambda + 2 &= &0 \end{array}\).
Snadno zjistíme, že kořeny charakteristického polynomu jsou \(\underline {\underline {{\lambda}_1=1, {\lambda}_2=2}}\), což jsou hledaná vlastní čísla matice \(A\).
Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením \(\lambda_{1,2}\) do rovnice (2): \((A - \lambda E) \vec{u} = 0\).
Pro \(\lambda_1=1\) dostáváme:
\(\begin{array}{rcc} (A - 1E)\vec{u} &= &0 \\ \left[ \left( \begin{array}{rr} 3 & -1\\ 2 & 0 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \right] \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ \left( \begin{array}{rr} 3-1 & -1\\ 2 & 0-1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ \left( \begin{array}{rr} 2 & -1\\ 2 & -1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}\)
Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
\(\begin{array}{rrrcl} 2u_1 &- &u_2 &= &0 \\ 2u_1 &- &u_2 &= &0 \end{array}\).
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
\(2u_1 - u_2 = 0\).
Položíme \(u_1= t\) a dostaneme \(u_2=2t\). Řešení soustavy je tedy tvaru \((t,2t), t \in \mathbb{C}\). Každý násobek vektoru \(\underline {\underline {(1,2)}}\) je vlastním vektorem matice \(A\) příslušným k vlastnímu číslu \(\lambda_1=1\).
Pro \(\lambda_2=2\) analogicky dostáváme:
\(\begin{array}{rcc} (A - 2E)\vec{u} &= &0 \\ \left( \begin{array}{rr} 3-2 & -1\\ 2 & 0-2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ \left( \begin{array}{rr} 1 & -1\\ 2 & -2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}\)
Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
\(\begin{array}{rcl} u_1 - u_2 &= &0 \\ 2u_1 - 2u_2 &= &0 \end{array}\).
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
\(u_1 - u_2 = 0\).
Položíme \(u_2= t\) a dostaneme \(u_1=t\). Řešení soustavy je tedy tvaru \((t,t), t \in \mathbb{C}\). Každý násobek vektoru \(\underline {\underline {(1,1)}}\) je vlastním vektorem matice \(A\) příslušným k vlastnímu číslu \(\lambda_2=2\).
Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice \(\left( \begin{array}{rrr} 2 & -3 & 1\\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{array}\right)\).
Řešení:
Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice \(A\) (podle (3)):
\(\begin{array}{rcl} \left| \begin{array}{rrr} 2-\lambda & -3 & 1\\ 1 & -2-\lambda & 1 \\ 1 & -3 & 2-\lambda \end{array} \right| &= &0 \\(2 -\lambda)(-2 -\lambda)(2 -\lambda) - 6 - (-2 -\lambda) + 6(2 -\lambda) &= &0 \\ -{\lambda}^3 + 2{\lambda}^2 -\lambda&= &0 \\ -\lambda ({\lambda}^2 - 2\lambda -1) &= &0 \\ -\lambda (\lambda -1)^2 &= &0 \end{array}\)
Kořeny charakteristického polynomu jsou \(\underline {\underline {{\lambda}_1=0, {\lambda}_{2,3}=1}}\), což jsou hledaná vlastní čísla matice \(A\).
Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením \(\lambda_{1,2}\) do rovnice (2): \((A - \lambda E) \vec{u} = 0\).
Pro \(\lambda_1=0\) dostáváme:
\(\begin{array}{rcc} (A - 0E)\vec{u} &= &0 \\ \left( \begin{array}{rrr} 2 & -3 & 1\\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}\)
Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých:
\(\begin{array}{rrrrrrr} 2u_1 &- &3u_2 &+ &u_3 &= &0\\ u_1 &- &2u_2 &+ &u_3 &= &0\\ u_1 &- &3u_2 &+ &2u_3 &= &0\end{array}\).
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
\(\begin{array}{rrrrrrr} 2u_1 &- &3u_2 &+ &u_3 &= &0\\ &- &u_2 &+ &u_3 &= &0 \end{array}\).
Položíme \(u_3= t\) a dostaneme \(u_1=u_2=t\). Řešení soustavy je tedy tvaru \((t,t,t), t \in \mathbb{C}\). Každý násobek vektoru \(\underline {\underline {(1,1,1)}}\) je vlastním vektorem matice \(A\) příslušným k vlastnímu číslu \(\lambda_1=0\).
Pro \(\lambda_{2,3}=1\) analogicky dostáváme:
\(\begin{array}{rcc} (A - 1E)\vec{u} &= &0 \\ \left( \begin{array}{rrr} 2-1 & -3 & 1\\ 1 & -2-1 & 1 \\ 1 & -3 & 2-1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 1\\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}\)
Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých:
\(\begin{array}{rrrrrrr} u_1 &- &3u_2 &+ &u_3 &= &0\\ u_1 &- &3u_2 &+ &u_3 &= &0\\ u_1 &- &3u_2 &+ &u_3 &= &0 \end{array}\).
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
\(u_1 - 3u_2 + u_3 = 0\).
Položíme \(u_2= t, u_3=s\) a dostaneme \(u_1=3t-s\). Řešení soustavy je tedy tvaru \((3t-s,t,s), t,s \in \mathbb{C}\).
Protože řešení soustavy obsahuje dva parametry, dostaneme vlastní vektory dosazením:
\(t=1, s=0: (3,1,0); t=0, s=1: (-1,0,1)\) Obecně, při větším počtu parametrů, volíme vždy jeden z parametrů roven jedné a ostatní rovny nule. .
Každá lineární kombinace vektorů \(\underline {\underline {(3,1,0)}}\) a \(\underline {\underline {(-1,0,1)}}\) je vlastním vektorem matice \(A\) příslušným k vlastnímu číslu \(\lambda_{2,3}=1\).
Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice \(\left( \begin{array}{rr} 6 & -4\\ 3 & -1 \end{array}\right )\).
Řešení:
Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice \(A\) (podle (3)):
\(\begin{array}{rcl} \left| \begin{array}{rrr} 6-\lambda & -4 \\ 3 & -1-\lambda \end{array} \right| &= &0 \\(6 -\lambda)(-1 -\lambda)+12 &= &0 \\ {\lambda}^2 -5\lambda +6 &= &0 \end{array}\)
Kořeny charakteristického polynomu jsou \(\underline {\underline {{\lambda}_1=2, {\lambda}_2=3}}\), což jsou hledaná vlastní čísla matice \(A\).
Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením \(\lambda_{1,2}\) do rovnice (2): \((A - \lambda E) \vec{u} = 0\).
Pro \(\lambda_1=2\) dostáváme:
\(\begin{array}{rcc} (A - 2E)\vec{u} &= &0 \\ \left( \begin{array}{rr} 6-2 & -4\\ 3 & -1-2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ \left( \begin{array}{rr} 4 & -4\\ 3 & -3 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}\)
Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
\(\begin{array}{rrrcl} 4u_1 &- &4u_2 &= &0 \\ 3u_1 &- &3u_2 &= &0 \end{array}\).
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
\(u_1 - u_2 = 0\).
Položíme \(u_2= t\) a dostaneme \(u_1=t\). Řešení soustavy je tedy tvaru \((t,t), t \in \mathbb{C}\). Každý násobek vektoru \(\underline {\underline {(1,1)}}\) je vlastním vektorem matice \(A\) příslušným k vlastnímu číslu \(\lambda_1=2\).
Pro \(\lambda_2=3\) analogicky dostáváme:
\(\begin{array}{rcc} (A - 3E)\vec{u} &= &0 \\ \left( \begin{array}{rr} 6-3 & -4\\ 3 & -1-3 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ \left( \begin{array}{rr} 3 & -4\\ 3 & -4 \end{array} \right) \left(\begin{array}{r} u_1 \\ u_2 \end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}\)
Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
\(\begin{array}{rrrcl} 3u_1 &- &4u_2 &= &0 \\ 3u_1 &- &4u_2 &= &0 \end{array}\).
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
\(3u_1 - 4u_2 = 0\).
Položíme \(u_2= t\) a dostaneme \(u_1=\frac{4}{3}t\). Řešení soustavy je tedy tvaru \((\frac{4}{3}t,t), t \in \mathbb{C}\). Každý násobek vektoru \(\underline {\underline {(\frac{4}{3},1)}}\) resp. vektoru \((4,3)\) je vlastním vektorem matice \(A\) příslušným k vlastnímu číslu \(\lambda_2=3\).