3.1.1.2 Operace s polynomy

Polynomy můžeme sčítat, odečítat, násobit či dělit. S příslušnými operacemi jste se jistě seznámili již na základní, či střední škole. Stručně jen připomeňme následující základní informace.

Při sčítání resp. odečítání polynomů vždy sčítáme nebo odečítáme koeficienty u členů se stejným mocnitelem (exponentem).

Při násobení polynomů násobíme každý člen prvního polynomu s každým členem druhého polynomu. Koeficienty násobíme klasicky jako reálná čísla. Exponenty u proměnných naopak sčítáme podle pravidel pro počítání s mocninami (např. \(4x^2 \cdot 2x^3 = 8x^5)\).

Určete součet, rozdíl a součin polynomů \(P\) a \(Q\):

\(P(x)=5x^3 + 3x^2 +4x + 3\), \(Q(x)=3x^2 -x +5\).

\((P+Q)(x) =5x^3 + (3+3)x^2 +(4-1)x + 3+5 = \underline{ \underline{5x^3 + 6x^2 +3x + 8}}\)

\((P-Q)(x) =5x^3 + (3-3)x^2 +(4+1)x + 3-5 = \underline{ \underline{5x^3 +5x - 2}}\)

\(\begin{array}{rl} (P \cdot Q)(x) =& 5x^3 \cdot 3x^2 + 5x^3 \cdot (-x)+ 5x^3 \cdot 5 + 3x^2 \cdot 3x^2 + 3x^2 \cdot (-x)+ 3x^2 \cdot 5 + \\ & +4x \cdot 3x^2 + 4x \cdot (-x)+ 4x \cdot 5 + 3 \cdot 3x^2 + 3 \cdot (-x)+ 3 \cdot 5 = \\ =& 15x^5 -5x^4 + 25x^3 + 9x^4 -3x^3 +15x^2 +12x^3 -4x^2 +20x + 9x^2 - \\ &-3x +15 = \\ =& 15x^5 + (-5+9)x^4 + (25-3+12)x^3 +(15-4+9)x^2 + \\ &+(20-3)x +15 = \\ =& \underline{ \underline{15x^5 + 4x^4 + 34x^3 + 20x^2 + 17x +15}} \end{array}\)

Dělení polynomů si ukážeme na následujícím příkladě.

Určete podíl polynomů \(P\) a \(Q\):

\(P(x)=x^3 - 2x^2 +4x + 7\), \(Q(x)=x +1\),

V tomto případě jsme našli takový polynom \(R\), takový, že \(P = Q \cdot R\). Říkáme, že polynom \(Q\) dělí polynom \(P\) (zapisujeme \({\color{DarkBlue} {Q|P}}\)).
\(P(x)=x^4+x^2-2\), \(Q(x)=x^2+2x-3\).

V tomto případě polynom \(Q\) nedělí polynom \(P\), dělení vyšlo se zbytkem - tím je polynom \(-22x+22\).

Největší společný dělitel polynomů

Podobně jako u přirozených čísel můžeme definovat největšího společného dělitele polynomů \(P\) a \(Q\) jako polynom, který dělí \(P\) i \(Q\) a je dělitelný všemi ostatními polynomy s touto vlastností. Největší společný dělitel polynomů \(P\) a \(Q\) budeme označovat jako \({\color{DarkBlue} {NSD(P,Q)}}\). K jeho nalezení lze využít tzv. Eukleidův algoritmus:

Vydělíme polynom \(P\) polynomem \(Q\) a v každém dalším kroku pak dělíme polynom s menším stupněm (tj. např. ve 2. kroku polynom \(Q\)) zbytkem získaným z předchozího dělení (např. ve 2. kroku zbytkem z 1. dělení). Poslední nenulový zbytek, který tímto algoritmem dostaneme, je největším společným dělitelem polynomů \(P\) a \(Q\). Jelikož největší společný dělitel polynomů je určen jednoznačně až na násobek libovolnou nenulovou reálnou konstantou, výpočet vždy zjednodušíme tím, že každý zbytek znormujeme (vynásobíme tak, aby vedoucí koeficient zbytku byl roven jedné). Celý postup ilustrují řešené příklady 1 a 2.