Každé číslo \({\color{DarkBlue} {c}}\) (reálné či komplexní, podle oboru v jakém pracujeme) splňující
\( P_n(c) = 0 \) (2)
se nazývá kořen polynomu \(P_n(x)\) stupně \(n\geq 1\).
Rovnice tvaru \(P_n(x)=0\), tj.
\( a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_0 = 0 \) (3)
je tzv. algebraickou rovnicí stupně \(n\). Hledání kořenů polynomů tedy odpovídá hledání řešení příslušné algebraické rovnice. Nalézt řešení lineární či kvadratické rovnice, tj. kořeny polynomů 1. a 2. stupně, by měl zvládnout bez potíží každý z vás. Otázkou však je, zda existuje nějaký univerzální algoritmus na hledání kořenů polynomů stupňů vyšších? Již v 16. století byly známy vzorce pro polynomy stupně 1, 2, 3 a 4. Dlouhou dobu se potom matematikové snažili nalézt podobné vzorce pro kořeny polynomů stupně 5. Teprve v polovině 19. století bylo dokázáno, že takové vzorce pro polynomy stupně většího nebo rovného pěti neexistují! Při hledání kořenů polynomů se tedy musíme spokojit s jejich odhady na základě vlastností, které si dále uvedeme.
Je-li \(c\) kořenem polynomu \(P_n(x)\), lze tento polynom rozložit na tvar
\( P_n(x)=(x-c)Q_{n-1}(x) \) (4).
Je-li \(c\) kořenem polynomu, pak lineární polynom \({\color{DarkBlue} {(x-c)}}\) s proměnnou \(x\) se nazývá kořenový činitel příslušný ke kořeni \(c\).
Známe-li tedy kořen polynomu \(P_n(x)\), můžeme jej rozložit na součin kořenového činitele a polynomu stupně o jedno nižšího než je zadaný polynom. Polynom lze tedy beze zbytku vydělit kořenovým činitelem - výsledkem je polynom \(Q_{n-1}\).
Řekneme že kořen \(c\) je \(k\)-násobný, jestliže existuje polynom \(Q_{n-k}(x)\) stupně \(n-k\) takový, že platí
\(P_n(x)=(x-c)^{k}Q_{n-k}(x)\) a \( Q_{n-k}(c) \neq 0 \) (5).
To znamená, že \(c\) je \(k\)-násobný kořen polynomu \(P_n(x)\), jestliže tento polynom lze beze zbytku vydělit polynomem \((x-c)^{k}\), přičemž \(c\) není kořenem polynomu \(Q_{n-k}(x)\). Mimo to platí, že polynomy \(P_n(x)\) a \(Q_{n-k}(x)\) z předchozí definice mají stejné kořeny včetně násobnosti, s výjimkou kořene \(c\). Hledáme-li kořeny polynomu \(P_n(x)\), je vhodné po nalezení jednoho z nich vydělit polynom \(P_n(x)\) kořenovým činitelem příslušným tomuto kořeni ”maximálně-možně-krát”. Tím zjistíme násobnost kořene (je to číslo, udávající, kolikrát se nám podařilo provést dělení beze zbytku) a obdržíme polynom \(Q_{n-k}(x)\) z předchozí definice (je to poslední podíl, který vyšel beze zbytku). Dále budeme hledat kořeny polynomu \(Q_{n-k}(x)\). Ten je totiž nižšího stupně a tedy jednodušší.
Základní věta algebry, Gaussova věta:
Každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen.
Gaussova základní věta algebry z roku 1799 tedy říká, že (pro nekonstantní polynomy) aspoň jeden kořen vždy existuje. Z této věty plyne velmi důležitý důsledek.
Důsledek:
Každý polynom (každá algebraická rovnice) stupně \(n\) má v oboru komplexních čísel právě \(n\) kořenů (řešení). Přitom každý kořen počítáme i s jeho násobností.
Víme tedy, kolik kořenů polynomu v oboru \(\mathbb{C}\) existuje, neexistuje však univerzální návod, jak tyto kořeny nalézt. Pro řadu úloh v matematice je vhodné umět rozložit polynom na součin polynomů jednodušších. Lze ukázat, že každý polynom lze (v oboru reálných čísel) rozložit na součin, v němž jsou jenom kořenové činitele, tj. lineární polynomy tvaru \((x-c)\) u jednoduchých reálných kořenů a tvaru \((x-c)^k\) u \(k\)-násobných reálných kořenů, případně kvadratické výrazy \(x^2 + px + q\), které mají \(2\) komplexně sdružené kořeny nebo mocniny těchto kvadratických výrazů \((x^2 + px + q)^k\) V oboru komplexních čísel bychom mohli rozložit i kvadratické výrazy se záporným diskriminantem. Pro naše účely však postačí rozklad v oboru reálných čísel. . Rozklad však není možné provést bez znalosti kořenů tohoto polynomu. V praxi dokážeme zpravidla rozložit na součin pouze kvadratické polynomy, polynomy, které mají celočíselné či racionální kořeny, případně polynomy, kde rozklad na součin lze provést postupným vytýkáním. Více nám ukáže následující kapitola "Hledání kořenů polynomů".