3.1.1.4 Hledání kořenů polynomů

Při hledání kořenů polynomů nám může pomoci několik následujících vět.

Počet kladných kořenů polynomu (1) (řešení algebraické rovnice (3) je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů \(a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0\), nebo o sudé číslo menší. Případné koeficienty, které jsou rovny nule, přitom neuvažujeme.

Počet záporných kořenů polynomu (1) (řešení algebraické rovnice (3) je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů polynomu \(P(-x)\), nebo o sudé číslo menší. Případné koeficienty, které jsou rovny nule, přitom neuvažujeme.

Praktický význam věty je vidět v řešených příkladech 3 a 4.

Podmínka pro celočíselné kořeny

Nechť všechny koeficienty polynomu (1) jsou celá čísla. Je-li \(c \in \mathbb{Z}\) kořenem tohoto polynomu, pak je číslo \(a_0\) dělitelné číslem \(c\), tj. \(c|a_0\).

Předchozí věta se týká pouze polynomů s celočíselnými koeficienty a říká, že celočíselným kořenem takového polynomu může být pouze dělitel absolutního člene. Je tedy možné si všechny dělitele vypsat a po řadě je otestovat, např. Hornerovým schématem. Navíc, najdeme-li takový kořen, zjistíme opakovaným testováním současně i jeho násobnost.

Hornerovo schéma

Hornerovo schéma je metoda, která umožňuje snadno určit, zda dané číslo je kořenem polynomu \(P_n\) (tj. zda \(P_n(c) = 0\)   To lze samozřejmě zjistit dosazením \(x=c\) do \(P_n(c) = 0\). Dostaneme-li platnou rovnost, jedná se o kořen polynomu. U složitějších polynomů však výpočet s pomocí Hornerova schématu může být mnohem jednodušší. ) a umožňuje rozložit zadaný polynom na součin kořenového činitele \((x-c)\) příslušného nalezenému kořeni a polynomu \(Q_{n-1}\) stupně o jedno nižšího než je zadaný polynom. Opakovaným užitím Hornerova schématu lze zjistit násobnost nalezeného kořene a rozložit polynom na součin kořenových činitelů.

Testování kořene polynomu probíhá pomocí následující tabulky. V jejím záhlaví jsou v 1. řádku koeficienty zadaného polynomu \(P_n\), do 1. sloupce se zapíše testované číslo (potenciální kořen \(c\)). Postupně získáváme čísla ve 3. řádku: nejdříve opíšeme koeficient \(a_n\) do 2. sloupce. Hodnoty ve 3. a dalších sloupcích získáme vždy vynásobením kořene s hodnotou v předchozím sloupci (mezivýsledek se zapíše do 2. řádku) a následně sečtením čísel v 1. a 2. řádku daného sloupce.

Pokud \(b_0 \neq 0\), pak \(c\) není kořenem polynomu \(P_n\) a \(b_0\) je hodnota \(P(c)\).

Pokud vyjde \(b_0 = 0\), je \(c\) kořenem polynomu \(P_n\). Čísla \(a_n, b_{n-1}, \dots , b_1\) jsou pak koeficienty polynomu \(Q_{n-1}\) stupně o jedno nižšího než je zadaný polynom \(P_n\). \(P_n\) tak můžeme rozložit na součin kořenového činitele \((x-c)\) příslušného nalezenému kořeni a polynomu \(Q_{n-1}\).

Další kořeny polynomu \(P_n\) musí být zároveň kořeny polynomu \(Q_{n-1}\), tj. musí dělit \(b_0\) - díky této vlastnosti se okruh testovaných čísel (dělitelů \(a_0\)) může zúžit. Při hledání dalšího kořene můžeme sestavit samostatnou tabulku pro \(Q_{n-1}\), nebo pokračovat v původní tabulce.