3.1.2.1 Největší společný dělitel polynomů

1. Největší společný dělitel polynomů

Nalezněte největší společný dělitel polynomů \(P\) a \(Q\): \(P(x)=x^4+x^2-2\), \(Q(x)=x^2+2x-3\).

Řešení:

Postupujeme dle Eukleidova algoritmu.

Nejdříve vydělíme polynom \(P\) polynomem \(Q\):

Získaný nenulový zbytek znormujeme (vydělíme číslem \(-22\)): \(-22x+22 \sim x-1\).

Ve 2. kroku vydělíme polynom \(Q\) normovaným zbytkem získaným v předcházejícím kroku:

Ve 2. kroku jsme dostali nulový zbytek, algoritmus tedy končí. Největším společným dělitelem polynomů \(P\) a \(Q\) je \(\underline{ \underline{x-1}}\) - poslední nenulový zbytek.

2. Největší společný dělitel polynomů

Nalezněte největší společný dělitel polynomů \(P\) a \(Q\): \(P(x)=x^5+x^2-2\), \(Q(x)=x^3+2x-3\).

Řešení:

Postupujeme dle Eukleidova algoritmu.

Nejdříve vydělíme polynom \(P\) polynomem \(Q\):

Získaný nenulový zbytek znormujeme (vydělíme číslem \(4\)): \(4x^2+4x-8 \sim x^2+x-2\).

Ve 2. kroku vydělíme polynom \(Q\) normovaným zbytkem získaným v předcházejícím kroku:

Získaný nenulový zbytek znormujeme (vydělíme číslem \(5\)): \(5x-5 \sim x-1\).

Ve 3. kroku vydělíme polynom \(x^2+x-2\) normovaným zbytkem získaným v předcházejícím kroku:

Ve 3. kroku jsme dostali nulový zbytek, algoritmus tedy končí. Největším společným dělitelem polynomů \(P\) a \(Q\) je \(\underline{ \underline{x-1}}\) - poslední nenulový zbytek.