Aplikovaná matematika 3.1.2.2 Hledání kořenů polynomů

3.1.2.2 Hledání kořenů polynomů

3. Počet kořenů polynomu

Určete počet kladných, záporných, reálných, komplexních (a imaginárních) kořenů polynomu \(P\): \(P(x)=x^4 + 2x^3 - 25x^2 - 26x + 120\).

Řešení:

Stupeň polynomu \(st(P)=4 \rightarrow\) podle důsledku Základní věty algebry je počet komplexních kořenů roven 4.

Koeficienty \(P(x)\) jsou \(1,2,-25,-26,+120 \rightarrow\) 2 znaménkové změny \(\rightarrow\) 2 nebo 0 kladných reálných kořenů.

Koeficienty \(P(-x)=x^4 - 2x^3 - 25x^2 + 26x + 120\) jsou \(1,-2,-25,26,120 \rightarrow\) 2 znaménkové změny \(\rightarrow\) 2 nebo 0 záporných reálných kořenů.

Pro kořeny polynomu \(P\) jsou následující možnosti:

  1. 0 reálných kořenů, 4 kořeny imaginární,

  2. 2 reálné kořeny (buď 2 kladné, nebo 2 záporné), 2 kořeny imaginární (2 komplexně sdružené kořeny \(\alpha \pm \beta i\)),

  3. 4 reálné kořeny (2 kladné a 2 záporné), 0 kořenů imaginárních.

4. Počet kořenů polynomu

Určete počet kladných, záporných, reálných, komplexních (a imaginárních) kořenů polynomu \(P\): \(P(x)=x^3 - 6x^2 + 11x -6\).

Řešení:

Stupeň polynomu \(st(P)=3 \rightarrow\) podle důsledku Základní věty algebry je počet komplexních kořenů roven 3.

Koeficienty \(P(x)\) jsou \(1,-6,11,-6 \rightarrow\) 3 znaménkové změny \(\rightarrow\) 3 nebo 1 kladných reálných kořenů.

Koeficienty \(P(-x)\) jsou \(-1,-6,-11,-6 \rightarrow\) žádná znaménková změna \(\rightarrow\) 0 záporných reálných kořenů.

Pro kořeny polynomu \(P\) jsou následující možnosti:

  1. 1 reálný kladný kořen, 2 kořeny imaginární (2 komplexně sdružené kořeny \(\alpha \pm \beta i\)),

  2. 3 reálné kladné kořeny, 0 kořenů imaginárních.

5. Hornerovo schéma

Ověřte, je-li \(x=1\) kořenem polynomu \(P(x)=4x^4 - 6x^3 +3x - 5\).

Řešení:

Sestavíme Hornerovo schéma:

[figure]

Jelikož vyšlo \(b_0=-4 \neq 0\) (zarámovaná hodnota), není \(x=1\) kořenem zadaného polynomu.

6. Hornerovo schéma

Rozložte polynom \(P(x)=x^5 + x^4 - 5x^3 - 9x^2 - 24x - 36\) na součin kořenových činitelů v oboru reálných čísel.

Řešení:

Podle podmínky pro celočíselné kořeny mohou být kořeny polynomu pouze dělitelé čísla \(-36\), tj. \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18\) a \(\pm 36\).

Postupně sestavíme Hornerovo schéma pro potenciální kořeny.

\(x=1\) není kořenem zadaného polynomu:

[figure]

\(x=-1\) není kořenem zadaného polynomu:

[figure]

\(x=2\) není kořenem zadaného polynomu:

[figure]

\(x=-2\) je kořenem zadaného polynomu:

[figure]

Jelikož kořeny zadaného polynomu \(P_5\) musí být zároveň kořeny polynomu \(Q_4 = x^4 - x^3 - 3x^2 - 3x - 18\), musí dělit \(-18\). Lze tedy okruh testovaných čísel zúžit na \(-2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12\) a \(\pm 18\)

Otestujeme znovu \(x=-2\):

[figure]

\(x=-2\) je kořenem zadaného polynomu. Jelikož kořeny zadaného polynomu \(P_5\) musí být zároveň kořeny polynomu \(Q_3 = x^3 - 3x^2 +3x - 9\), musí dělit \(-9\). Lze tedy okruh testovaných čísel zúžit na \(\pm 3\) a \(\pm 9\). Víme tedy, že \(x=-2\) nemůže být více než dvojnásobným kořenem zadaného polynomu.

\(x=3\) je kořenem zadaného polynomu:

[figure]

Kořeny zadaného polynomu \(P_5\) musí být zároveň kořeny polynomu \(Q_2 = x^2 + 3\). Rovnice \(x^2 + 3=0\) nemá celočíselné kořeny, ale 2 komplexně sdružené kořeny   Lze zjistit např. tak., že ve vzorci pro řešení dané kvadratické rovnice vyjde záporný diskriminant. .

Rozklad zadaného polynomu na součin kořenových činitelů je tedy tvaru: \(\underline {\underline {(x+2)^2(x-3)(x^2 + 3)}}\).