Aplikovaná matematika 3.1.3.2 Hledání kořenů polynomů

3.1.3.2 Hledání kořenů polynomů

2. Určete počet kladných, záporných, reálných, komplexních (a imaginárních) kořenů polynomu \(P\):

\(P(x)=x^7 - 14x^5 + 3x^2 +1\).

Řešení:

7 komplexních kořenů s následujícími možnostmi:

  1. 1 reálný záporný kořen, 6 kořenů imaginárních (\(3 \cdot 2\) komplexně sdružené kořeny)

  2. 1 reálný záporný kořen, 2 reálné kladné kořeny, 4 kořeny imaginární (\(2 \cdot 2\) komplexně sdružené kořeny)

3. Ověřte, je-li \(c\) kořenem polynomu \(P(x)=x^5 + x^4 + x^3 - x^2 - x - 1\):

  1. \(c=-1\)

  2. \(c=1\)

Řešení:

  1. není

  2. je

4. Rozložte polynom \(P(x)=x^5 - 4x^4 +2x^3 + 2x^2 + x + 6\) na součin kořenových činitelů v oboru reálných čísel.

Řešení:

\(x^5 - 4x^4 +2x^3 + 2x^2 + x + 6 = (x+1)(x-2)(x-3)(x^2 + 1)\)