Funkci proměnné \(x\) ve tvaru \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), kde \(P(x)\) a \(Q(x)\) jsou polynomy, nazýváme racionální lomenou funkcí. Je-li stupeň polynomu v čitateli \(P(x)\) menší než stupeň polynomu ve jmenovateli \(Q(x)\), nazýváme danou funkci ryze lomenou. V opačném případě mluvíme o funkci neryze lomené.
Každou neryze lomenou funkci lze dělením polynomu polynomem převést na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce.
Základním řešením integrace ryze lomených racionálních funkcí je jejich převedení na jednoduché zlomky, které již umíme integrovat. Tyto jednoduché zlomky nazýváme parciálními zlomky. Pro rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky je třeba nalézt kořeny polynomu jmenovatele a polynom ve jmenovateli převést na součin kořenových činitelů. Tyto činitele, případně jejich mocniny, používáme jako jmenovatele jednotlivých parciálních zlomků.
Budeme rozlišovat tři základní typy parciálních zlomků:
Je-li v rozkladu jmenovatele na kořenové činitele výraz: \((ax +b)\), kde \(\alpha = -\frac{b}{a}\) je jednoduchý kořen jmenovatele, odpovídá tomuto činiteli v rozkladu parciální zlomek
\(\frac{A}{ax +b}\),
kde \(A\) je vhodná konstanta.
Je-li v rozkladu jmenovatele na kořenové činitele výraz: \((ax +b)^k\) a \(\alpha = -\frac{b}{a}\) je \(k-\)násobný kořen jmenovatele, kde \(k > 1\), odpovídá tomuto činiteli v rozkladu \(k\) parciálních zlomků tvaru
\(\frac{A_1}{ax +b} , \frac{A_2}{(ax+b)^2}, ..., \frac{A_k}{(ax +b)^k}\),
kde \(A_1 , A_2 , ... , A_k\) jsou vhodné konstanty.
Je-li v rozkladu jmenovatele na kořenové činitele výraz: \(ax^2 + bx +c\), který nemá reálné kořeny, to jest \(b^2 - 4ac < 0\), odpovídá tomuto činiteli v rozkladu parciální zlomek tvaru:
\(\frac{Ax + B}{ax^2 +bx +c}\),
kde \(A, B\) jsou vhodné konstanty. V případě vícenásobných imaginárních kořenů postupujeme stejně jako v případě 2.
Nejlepší bude ukázat si rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky na modelových příkladech. Začneme jednodušším příkladem se jmenovatelem s reálnými kořeny.
Modelový příklad 1:
Nalezněte rozklad racionální lomeneé funkce na součet parciálních zlomků
\(\frac{x^2 +1}{x^3 (2x - 1)}\)
Jmenovatel zlomku je už rozložený na součin kořenových činitelů, máme proto snažší práci. Funkce má jeden jednonásobný kořen \(\frac{1}{2}\) a jeden trojnásobný kořen \(0\). Rozklad na parciální zlomky bude mít tvar:
\(\frac{x^2 +1}{x^3(2x -1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{D}{2x -1}\)
Nyní vynásobíme obě strany rovnice výrazem \(x^3 (2x -1)\) a získáme rovnici:
\(x^2 +1 = Ax^2 (2x -1) + Bx (2x -1) + C(2x -1) +Dx^3\)
Dva polynomy si jsou rovny tehdy, rovnají-li se jejich koeficienty u stejných mocnin proměnné \(x\). Budeme tedy porovnávat koeficienty na levé a pravé straně rovnice pro výrazy \(x^3 , x^2 , x^1 a x^0\), tím získáme čtyři rovnice pro čtyři neznámé:
\(x^3 \ \ : \ \ 0=2A +D\)
\(x^2 \ \ : \ \ 1=2B - A \)
\(x^1 \ \ : \ \ 0=2C -B \)
\(x^0 \ \ : \ \ 1= -C \)
Vyřešením této soustavy rovnic získáme koeficienty: \(A=-5, B=-2, C=-1, D=10\). Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar:
\(\frac{x^2 +1}{x^3 (2x -1)} = \frac{-5}{x} - \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3} + \frac{10}{2x -1}\)
Modelový příklad 2:
Nalezněte rozklad racionální lomené funkce na součet parciálních zlomků
\(\frac{x}{x^3 -1}\)
V tomto případě musíme nejdříve rozložit jmenovatele na součin kořenových činitelů. Výraz \(x^3 -1\) má jeden kořen roven 1, lze jej tedy vydělit výrazem \(x-1\), tím získáme rozklad \(x^3 -1 = (x-1)(x^2 +x +1)\) druhý výraz nemá reálný kořen. Rozklad na součet parciálních zlomků bude mít tvar:
\(\frac{x}{x^3 -1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx +C}{x^2 +x +1}\)
Vynásobením obou stran rovnice získáme tvar:
\(x = A(x^2 + x +1) + (Bx +C)(x-1)\)
Porovnáním příslušných koeficientů dostáváme soustavu tří rovnic o třech neznámých:
\(x^2 \ \ : \ \ 0=A +B\)
\(x^1 \ \ : \ \ 1=A-B+C\)
\(x^0 \ \ : \ \ 0 = A -C\)
Sočtem všech tří rovnic určíme koeficient \(A=\frac{1}{3}\), dosazením proměnné \(A\) do první a třetí rovnice vypočítáme proměnné \(B\) a \(C\). \(B=- \frac{1}{3}\) a \(C=\frac{1}{3}\). Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar:
\(\frac{x}{x^3 -1} = \frac{1}{3(x-1)} - \frac{x-1}{3(x^2 +x +1)}\).