Nyní již můžeme přistoupit k integraci jednotlivých parciálních zlomků. Uvedeme si sice vzorce pro integraci jednotlivých zlomků, ale není třeba se je učit na zpaměť. Využejeme znalostí z minulého semestru o integraci funkce \(\frac{1}{x-a}\), případně $\frac{1}{(x-1)^k}. První zlomek povede na přirozený logaritmus funkce, druhý vede ke zlomkům s mocninou ve jmenovateli.
Vzorce pro integraci parciálních zlomků mají tvar:
\( \int \frac{A}{ax + b} = \frac{A}{a} \ln |ax +b|; \ \ \ a \neq 0\)
\(\int \frac{A}{(ax + b)^k} = - \frac{A}{a(k-1)} \frac{1}{(ax +b)^{k-1}}; \ \ \ a \neq 0; k > 1\)
\(\int \frac{Ax + B}{ax^2 +bx +c} = \frac{A}{2a} \ln |a^2 +bx +c| + (B - \frac{Ab}{2a}) \frac{2}{\sqrt{4ac -b^2}} \arctan \frac{2ax +b}{\sqrt {4ac - b^2}}; \ \ \ b^2 - 4ac < 0\)
Je zřejmé, že zvláště poslední vzorec je zbytečné se učit na zpaměť. Ukážeme si tedy jak provést integraci bez znalosti tohoto vzorce. Nejprve se ale podíváme na předchozí první modelový příklad.
Modelový příklad 1 - integrace:
Integrál racionální lomené funkce z prvního modelového příkladu předchozí kapitoly bude mít tedy tvar:
\(\int \frac{x^2 +1}{x^3 (2x -1)} dx = \int (\frac{-5}{x} - \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3} + \frac{10}{2x -1}) dx = -5 \ln |x| + \frac{2}{x} + \frac{1}{2x^2} + 5 \ln |2x -1| + C\)
Podrobný výpočet ponecháme na procvičení čtenáři.
Nyní se podíváme na druhý modelový příklad.
Modelový příklad 2 - integrace:
\(\int \frac{x}{x^3 -1} dx = \int \frac{1}{3} \frac{1}{x-1} dx - \int \frac {1}{3} \frac{x -1}{x^2 + x +1} dx\)
První integrál vede opět na přirozený logaritmus jmenovatele, druhý integrál budeme upravovat:
Nejprve dosadíme do příslušného vzorce:
\(\int \frac{x}{x^3 -1} dx = \frac{1}{3} \ln |x-1| - \frac{1}{6} \ln (x^2 +x +1) + \frac{1}{\sqrt 3} \arctan \frac{2x+1}{\sqrt 3}\)
Nyní si ukážeme postup výpočtu druhého integrálu bez znalosti příslušného vzorce:
\(\int \frac {1}{3} \frac{x -1}{x^2 + x +1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{x-1}{x^2 +x +1} dx =\)
nejprve upravíme zlomek tak, aby čitatel byl derivací jmenovatele
\(\frac {1}{3} \int \frac {1}{2} \frac {2x + 1 - 3}{x^2 +x +1} dx = \frac {1}{6} \int (\frac {2x+1}{x^2 +x +1} - \frac{3}{x^2 +x +1})dx =\)
\( = \frac{1}{6} \ln(x^2 +x +1) - \frac{3}{6} \int \frac{dx}{x^2 +x+1} dx = \)
integrál nyní upravíme na tvar vedoucí na funkci \( \arctan x\)
\(\frac{1}{2} \int \frac {dx}{x^2 +x +1} = \frac {1}{2} \int \frac {dx}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \)
\(= \frac {1}{2} . \frac {2}{\sqrt{3}} \int \frac {dx}{(\frac{x + \frac {1}{2}}{ \frac {\sqrt {3}}{2}}) ^2 +1} = \) tento integrál po úpravách vede k výsledku: \(\frac {1}{\sqrt {3}} \arctan \frac {2x +1}{\sqrt {3}} \) Po shrnutí všech výpočtů obdržíme stejný výsledek jako při dosazení do vzorce. Necháme na čtenáři, aby si sám zvolil postup k řešení tohoto druhu funkcí.