Aplikovaná matematika 1.3.3.2 Rovina v prostoru

1.3.3.2 Rovina v prostoru

2. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem

  1. \(A[2,-2,1]\) a má směrové vektory \(\vec{u}=(-1,1,3)\) a \(\vec{v}=(-2,2,0)\).

  2. \(M[4,2,7]\) a je kolmá na vektor \(\vec{u}=(5,-1,1)\).

Řešení:

  1. \(x+y=0\)

  2. \(5x-y+z-25=0\)

3. Vypočítejte vzdálenost bodu

  1. \(A[3,2,-1]\) od roviny \(ρ:2x-6y+3z-1 =0\).

  2. \(A[7,-3,3]\) od přímky \(p\) procházející body \(C[1,-3,-3], D[4,3,3]\).

Řešení:

  1. \(\frac{10}{7}\)

  2. \(|Ap|=6\)

4. Vypočtěte úhel, který svírají roviny \(\rho\) a \(\sigma\), je-li \(\rho: -x+2y+z+5=0, \sigma:x+y+2z+7=0\).

Řešení:

\(\alpha = 60^\circ\)

5. Rozhodněte, zda dané roviny jsou rovnoběžné, kolmé, nebo splývající.

  1. \(A[3,2,-1]\) od roviny \(ρ:2x-6y+3z-1 =0\).

  2. \(A[7,-3,3]\) od přímky \(p\) procházející body \(C[1,-3,-3], D[4,3,3]\).

Řešení:

  1. \(\frac{10}{7}\)

  2. \(|Ap|=6\)

6. Rozhodněte, zda dané roviny jsou rovnoběžné, kolmé, nebo splývající.

  1. \(\rho: 2x-y+3z-1=0, \sigma: 4x-2y+6z-2=0\).

  2. \(\rho: x-4y+2z=0, \sigma: 2x+3y+5z-1=0\).

  3. \(\rho: x+2y+3z-1=0, \sigma: 2x+4y+6z+2=0\).

Řešení:

  1. různoběžné, nejsou kolmé

  2. rovnoběžné různé

  3. rovnoběžné totožné