INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Lineární algebra a geometrie
Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. Obsah
1 Lineární algebra: Matice - rozšíření 2
1.1 Teorie........................................... 2
1.1.1 Transponovaná matice.............................. 2
1.1.2 Inverzní matice.................................. 2
1.2 Řešené příklady...................................... 3
1.3 Příklady k procvičení................................... 8
2 Geometrie: Vlastní čísla a vlastní vektory 8
2.1 Teorie........................................... 8
2.2 Řešené příklady...................................... 9
2.3 Příklady k procvičení................................... 14
1   Lineární algebra: Matice - rozšíření
Tato kapitola navazuje na Úvod do matematiky - Lineární algebra - kapitola Matice. Než budete pokračovat, doporučujeme její zopakování.
1.1 Teorie
1.1.1    Transponovaná matice
Připomeňme si, že symbolem A = (»jj) jsme označovali maticí typu m/n tj.
A = (a,ij) =
^»11      »12      ' ' ' »ln »21      »22      ' ' ' »2n
\»ml     »m2     ' ' '     »mn J
Pro práci s maticemi je někdy výhodné zaměnit řádky matice za její sloupce.1
Nechť A = (a,ij) je matice typu m/n. Potom matice ATa typu n/m, která vznikne z matice A		
záměnou řádků za sloupce, tj.:		
	^ »11     »21     ' ' ' »ml^	
	»12     »22     ' ' ' »m2	
AT =		(1)
	\»ln     »2n     ' ' '     »mn/	
se nazývá transponovaná matice k matici A.		
a Transponovaná matice se také někdy označuje jako A či A'.		
1.1.2   Inverzní matice
Připomeňme si, že čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a jinde má všechny prvky nulové, se nazývá jednotková matice a značí se E. Jednotková matice je "jednič-kou"vzhledem k násobení čtvercových matic - pokud s ní vynásobíme jinou matici, výsledkem je příslušná matice: A ■ E = E ■ A = A.
Nechť A je čtvercová matice řádu n, E je jednotková matice také řádu n. Matice A 1 s vlastností
AA-1 = A-1 A = E, (2)
se nazývá inverzní matice k matici A.
1 Např. při určování hodnosti matice můžeme pracovat jak s řádky, tak se sloupci matice. Hodnost matice se tím nezmění.
2
Inverzní matice k dané matici nemusí vždy existovat. Dá se dokázat, že k dané matici A existuje právě jedna matice inverzní, pokud pro determinant původní matice platí \A\ O2 . Jak ale inverzní matici najít?
Výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav
1) Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice").
2) Ekvivalentními úpravami (EU) převedeme "levou matici ".A na schodovitý tvar. Přitom nezapomeneme pracovat i s prvky pravé matice.
3) Následně pomocí EU vytvoříme nuly i nad hlavní diagonálou levé matice. Opět nezapomeneme pracovat i s prvky pravé matice.
4) Na závěr pomocí EU vytvoříme z levé matice matici jednotkovou (pokud nedostaneme jednotkovou matici rovnou v kroku 3, tak jednotlivé řádky celkové vydělíme nenulovými čísly tak, aby levá matice měla v hlavní diagonále samé jedničky).
5) Po provedení kroků (l)-(4) se inverzní matice k zadané matici nachází na místě pravé matice.
Celý postup můžeme souhrnně označit jako: (-A|íľ) ~ • • • ~ (E\A 1).
Výpočet inverzní matice - pomocí algebraických doplňků
Nechť A je čtvercová matice řádu n taková, že \A\ =£ 0. Pak
/ Au    A12 ■
A ~\A\
A
21
A
22
Aln\
A2n
\An
Ar,
(3)
7
kde Aíj je tzv. algebraický doplněk k prvku a^- v původní matici A, který se vypočte jako (—l)l+J \ Aíj\, přičemž \Aíj \ je determinant submatice získané z matice A vynecháním z-tého řádku a j-tého sloupce.
1.2   Řešené příklady
Příklad 1. Určete inverzní matici k matici A =
6   -4   -17 \ -1      1 3 2-1    -6 y
Řešení Budeme postupovat přesně dle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav.
Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"):
2 Matice A s vlastností \A\ # 0 se nazývá regulární matice.
3
v
6	-4	-17	1	0	0
1	1	3	0	1	0
2	-1	-6	0	0	1
7
Pomocí EÚ převedeme "levou matici "A na schodovitý tvar. Z hlediska těchto úprav bude vhodné umístit 2. řádek na místo 1. řádku (v levém rohu matice mít číslo -1). 1. řádek pak vynásobíme šesti a přičteme k 2. řádku, dále vynásobíme 1. řádek číslem 2 a přičteme k 3. řádku. Přitom nezapomeneme pracovat i s prvky "pravé matice":
V
1	1	3	0	1	0
6	-4	-17	1	0	0
2	-1	-6	0	0	1
7
V
-1 1 3 0 2 1 0   1 0
0 1   0 \
1 6 0 0   2 1
Z hlediska dalších úprav bude výhodné prohodit 2. a 3. řádek:
\ r-1
(
V
1	1	3	0	1	0
0	2	1	1	6	0
0	1	0	0	2	1
V
1	1	3	0	1	0
0	1	0	0	2	1
0	2	1	1	6	0
7
Následně vynásobíme 2. řádek číslem —2 a přičteme k 3. řádku. Tím dostaneme matici ve schodovitém tvaru:
(-1	1	3	0	1	0	\		(	-1	1	3	0	1	0	\
0	1	0	0	2	1				0	1	0	0	2	1	
V 0	2	1	1	6	0	)		\	0	0	1	1	2	-2	7
Nyní je třeba vytvořit nuly i nad hlavní diagonálou "levé matice". 2. řádek matice je z hlediska této úpravy ve vhodném tvaru. V 1. řádku matice získáme nejdříve 0 na pozici = 3 a to tak, že vynásobíme 3. řádek číslem —3 a přičteme ho k 1. řádku:
V
-1 1 3 0 1 0 0   0 1
o\ í 1
7
V
-i i o
0 1 o 0   0 1
1
2 7
Dále potřebujeme získat v 1. řádku matice 0 na pozici a\2 = 1 a to tak, že vynásobíme 2. řádek číslem —la přičteme ho k 1. řádku:
(-1	1	0	-3	-5	6	\		(	-1	0	0	-3	-7	5	\
0	1	0	0	2	1				0	1	0	0	2	1	
V 0	0	1	1	2	-2	)		\	0	0	1	1	2	-2	7
4
Nyní z "levé matice "vytvoříme jednotkovou matici - stačí vynásobit první řádek číslem —1:
/ -1   0 0 0  1 o y   o o i
-3 -7
0 2 1
1 2 -2
5 \     / 1   0 0
0 1 0 0   0 1
V
3   7   -5 \
0 2 1
1 2   -2 y
A jsme hotovi - inverzní matice k zadané matici se nachází na místě "pravé matice", tj.
/ 3 7
A~ =
-5\
0 2 1
1 2 -2
Příklad 2. Určete inverzní matici k matici A =
1
0 4
1 -1 1 1     2 6
pomocí ekvivalentních úprav.
Řešení. Opět budeme postupovat podle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav.
Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"):
íl	0	4	1	0	0	\
1	-i	1	0	1	0	
v1	2	6	0	0	1	
Pomocí EÚ převedeme "levou matici"A na schodovitý tvar. 1. řádek matice vynásobíme číslem (—1) a přičteme k 2. a 3. řádku. Nezapomeneme přitom pracovat i s prvky "pravé matice":
	0	4	1	0	0	\		0	4	1	0	0	\
1	-i	1	0	1	0		0	-1	-3	-1	1	0	
v1	2	6	0	0	1	/	v°	2	2	-1	0	1	
Následně vynásobíme 2. řádek číslem 2 a přičteme k 3. řádku. Tím dostaneme matici ve schodovitém tvaru:
	0	4	1	0	0	\		0	4	1	0	0	\
0	-1	-3	-1	1	0		0	-1	-3	-1	1	0	
v°	2	2	-1	0	1		v°	0	-4	-3	2	1	
5
Nyní je třeba vytvořit nuly i nad hlavní diagonálou "levé matice". Abychom vytvořili 0 na místě a23 = —3, vynásobíme 3. řádek číslem —3 a přičteme ho k 4-násobku 2. řádku. Dále také přičteme 3. řádek k 1. řádku:
1	0	4	1	0	0			íl	0	0	-2	2	1
0	-1	-3	-1	1	0			0	-4	0	5	-2	-3
0	0	-4	-3	2	1	)		1°	0	-4	-3	2	1
Nyní z "levé matice "vytvoříme jednotkovou matici - stačí vynásobit 2. a 3. řádek číslem
	0	0	-2	2	1			f 1	0	0	-2	2	1	\
0	-4	0	5	-2	-3			0	1	0	5 4	1 2	3 4	
v°	0	-4	-3	2	1	)		1°	0	1	3 4	1 2	1 4	
A jsme hotovi - inverzní matice k zadané matici se nachází na místě "pravé matice", tj.
A-1
5 I
4 2
Příklad 3. Určete inverzní matici k matici A =
2        4 /
1     0 4
1 -1 1
1     2 6
pomocí algebraických doplňků.
Řešení. Opět budeme postupovat podle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí algebraických doplňků - podle (3) vypočteme inverzní matici jako:
f Au    A12   ■■■ Aln\
A-' =
\A\
A
21
A
22
\A
ml Am2
A
2n
An
Nejdříve vypočteme determinant matice A (dle Sarussova pravidla):
1-4.1 =
au   a\2 »13
0.21 &22 a23 a31    a32 a33
— alla22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 — a13a22a31 ~ alla23a32 — a12a21a33
6
\A\ =
1 O 4 1 -1 1 1     2 6
= -6 + 0 + 8 + 4-2-0 = 4
Nyní postupně vypočteme jednotlivé algebraické doplňky:
An = (-1)
í+i
-1 1 2 6
+ (-6-2) = -í
A12 = (-1)
1+2
1 1
1 6
-(6-1) = -5
^13 = (-1)
1+3
1 -1
1 2
+ (2+1) = 3
A21 = (-1)
2+1
0 4 2 6
= -(0
A22 = (-1)
2+2
1 4 1 6
= +(6 - 4) = 2
^23 = (-1)
2+3
1 0 1 2
= -(2-0) = -2
A31 = (-1)
3+1
0 4 -1 1
= +(0 + 4) = 4
^32 = (-1)
3+2
1 4 1 1
= -(1-4) = 3
^33 = (-1)
3+3
1 0
1 -1
= +(-l-0) = -l
Vypočtené algebraické doplňky dosadíme do vzorce (3) s tím, že matici ve vzorci rovnou transponujeme, tj. prvky Au, A12 a A13 zapíšeme do 1. sloupce, prvky A2i, A22 a A23 do 2. sloupce a prvky A3i, A32 a A33 do 3. sloupce:
7
A~ = -
-5 3
2
-2 -1
4\ í
3
1.3   Příklady k procvičení
Příklad 1. K dané matici A určete matici inverzní a to jednak pomocí ekvivalentních úprav a jednak pomocí algebraických doplňků.
		f-1	0	-	1^			
a) A =		2	1		1			
		{ 3	0		1 )			
		^32						
b) A =		5 4		1				
		l1 2		5 J				
				(	1 2	0	1 2	\
Řešení.	a) A =				1 2	1	1 2	
				\	3 2	0	1 2	
		( 3		5 3	1 3	\		
b) A =		-4		5 2	1 2			
		{ 1		2 3	1 3	)		
2   Geometrie: Vlastní čísla a vlastní vektory 2.1 Teorie
Již dříve jsme se setkali s určitým charakteristickým číslem dané matice - determinantem. V této části se budeme zabývat hledáním jiných charakteristických čísel - A, které jsou řešením rovnice Au = \u, kde A je zadaná matice řádu n. Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací, nejen v matematice, ale třeba v kvantové chemii.
Nechť A = (ftý) je matice řádu n, kde a^- e C. Číslo A e C se nazývá vlastní nebo charakteristické číslo matice A, jestliže splňuje pro některý nenulový vektor u rovnici
Au = Xu. (1) Vektor u se nazývá vlastní nebo charakteristický vektor příslušný k A.
Maticovou rovnici Au = Xu lze dále upravit:
8
Au - Xu = O
(A - \E)u = 0. (2)
(A — \E)u = O je homogenní soustava n lineárních rovnic o n neznámých3 . Protože podle předpokladu musí být vlastní vektor nenulový (dle jeho definice), musí mít soustava nenulové řešení.
To je splněno za podmínky, že determinant matice soustavy \A —	XE\	= 0.
Nechť A = (a>ij) je matice řádu n, kde clíj e C. Rovnice		
\A-\E\ = 0		(3)
se nazývá charakteristická rovnice matice A, determinant \A -polynom matice A.	-XE\	se nazývá charakteristický
Řešením charakteristické rovnice jsou vlastní čísla matice A. Jelikož charakteristický polynom je n-tého řádu, řešením charakteristické rovnice dostaneme n, ne nutně různých, vlastních čísel matice A.
2.2   Řešené příklady
Příklad 1. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice
Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)):
4
(3-A)(-A)-(-l)2   = 0 -3A + A2 + 2   =   0 ■ A2 - 3A + 2   = 0
Snadno zjistíme, že kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 1, A2 = 2, což jsou hledaná vlastní čísla matice A.
Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai,2 do rovnice (2): (A - \E)u = 0.
Pro Ai = 1 dostáváme:
3 Místo 0 na pravé straně rovnice by se přesněji měl psát nulový vektor o.
4 Charakteristickou rovnici tedy snadno získáme rovnou tak, že v determinantu matice A odečteme A na hlavní diagonále.
9
(A - \E)u =
Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
2u\ — ií2 = 0 2u\   —   U2   = 0
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
2u\ — U2 = 0.
Položíme Mi = í a dostaneme U2 = 2t. Řešení soustavy je tedy tvaru (ŕ, 2ť),t e C. Každý násobek vektoru (1, 2) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 1.
Pro A2 = 2 analogicky dostáváme:
(A - 2E)u =
Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
U\ — U2    = 0
2ui - 2u2   = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
Ml — U2 = 0.
Položíme U2 = t a dostaneme u\ = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (í, í),í e C. Každý násobek vektoru (1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2 = 2.
10
Příklad 2. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice
Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)):
^2-3	l\
1 -2	1
v1 -3	2 J
2 - A        -3 1 1   -2-A 1 1        -3   2-A (2 - A)(-2 - A)(2 - A) - 6 - (-2 - A) + 6(2 - A)
-A3 + 2A2 - A -A(A2 -2A- 1) -A(A-l)2
= 0
= 0
= 0
= o
= o
Kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 0, A2,3 = 1, což jsou hledaná vlastní čísla matice A.
Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai,2 do rovnice (2): (A - \E)u = 0.
Pro Ai = 0 dostáváme:
2	-3	1
1	-2	1
V 1	-3	2
(A - 0E)u = \(U1\
U2
V M3 )
o o
v0 y
Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých:
2ui   —   3«2   +    «3   = 0
mi   —   2u2   +    u3   = 0 ■
Mi   —   3«2   +   2«3   = 0
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
2ui   —   3«2   +   1*3   = 0
-    u2   +   u3   = 0
Položíme «3 = í a dostaneme u\ = u2 = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (t,t,t),t e C. Každý násobek vektoru (1,1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 0.
11
Pro A2,3 = 1 analogicky dostáváme:
( 2
V
-3 -2- 1 -3 2
íl -3 1   -3 1
y i -3 i
(A - \E)u
AI nA
u2
\u3 J
1
1 \ / «1 \
\u3 J
0 0
v0 y
o
v0 y
Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých:
ui   —   3«2   +   u3   = 0 ui   —   3«2   +   u3   =   0 ■ ui   —   3u2   +   u3   = 0
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
Ml — 3«2 +u3 = 0.
Položíme U2 = t,u3 = s a dostaneme u\ = 3r — s. Řešení soustavy je tedy tvaru (3r s, t,s),t,s e C.
Protože řešení soustavy obsahuje dva parametry, dostaneme vlastní vektory dosazením:
t= l,s = 0: (3,l,0);ŕ = 0,s = 1 : (-1,0, l)5.
Každá lineární kombinace vektorů (3,1, 0) a (—1, 0,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2,3 = 1.
Příklad 3. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice
Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)):
= 0
6-A -4 3   -1 - A (6-A)(-l-A)+ 12   = 0 A2 - 5A + 6   = 0
6 -4 3 -1
Obecně, při větším počtu parametrů, volíme vždy jeden z parametrů roven jedné a ostatní rovny nule.
12
Kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 2, A2 = 3, což jsou hledaná vlastní čísla matice A.
Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai,2 do rovnice (2): (A - \E)u = 0.
Pro Ai = 2 dostáváme:
Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
4«i - 4w2 = 0 3«i   —   3«2   = 0
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
ui ~ u2 = 0.
Položíme U2 = t a dostaneme u\ = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (í, í),í e C. Každý násobek vektoru (1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 2.
Pro A2 = 3 analogicky dostáváme:
Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
3«i — 4«2 = 0 3«i   —   4«2   = 0
Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu:
3«i — 4w2 = 0. 13
Položíme «2 = í a dostaneme u\ = |í. Řešení soustavy je tedy tvaru (|í,í),í e C. Každý násobek vektoru (|, l)6 je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2 = 3.
2.3   Příklady k procvičení
Příklad 1. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice A:
a)
b)
c)
3 2
4 1
3 -1
1 1
0 1 0
0 o 1
0 0 0
d)
1 1
0 2 1 0  o 1
Řešení, a) Ai = — 1, u = (t, — 2í), t e C; A2 = 5, u = (ŕ, ŕ), t e i
b) Ai = A2 = 2,u= (í,t),íeC
c) Ai = A2 = A3 = 0,u = (t, 0, 0),í e C
d) Ai = A2 = 1, u = (í, s, —s), t, s e C; A3 = 2, u = (í, t, 0), t e
Literatura
[1] Horák - Lineárni algebra
[2] Horák - Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I
[3] http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/13_MI_KAP
[4] http://www.vscht.cz/mat/MCHI/1 _prednaska.pdf
[5] Janyška - Analytická geometrie
resp. vektoru (4, 3)
H