Ústav fyzikální elektroniky PřF MU
http://www.physics.muni.cz/kof/vyuka/
Fyzikální praktikum pro nefyzikální obory
Úloha č. 2: Statistické zpracování měření
jarní semestr 2012
1. Poprvé v laboratoři
Experimentální zdatnost fyzika se projevuje především při práci v laboratoři. Většina sem
vstupuje se dvěmi přáními:
1. nic nerozbít
2. něco naměřit.
Jak tedy získat co nejvíce užitku a spáchat co nejméně škod?
1.1. Jak v laboratoři nic nerozbít.
Zapomeňte na heslo: „Kdo nic nedělá, nic nepokazí.“ Jeho logickým důsledkem je totiž
„Kdo nic nedělá, nic se nenaučí.“ Raději si vemte za své „Dříve než použiji ruce, použiji
hlavu.“ V první hodině absolvujete školení bezpečnosti práce, které slouží jako návod, jak
neublížit sobě ani laboratornímu zařízení. Použijete-li informace získané při tomto školení,
zdravý selský rozum a trochu fyzikální úvahy, nemělo by se nikomu nic stát. A pokud
si neporadíte vlastními silami, je možné poté oslovit vyučujícího v laboratoři a požádat
o radu či pomoc. Bude-li otázka rozumná, jistě neodmítne.
1.2. Jak v laboratoři něco naměřit.
Zde platí heslo „Nebát se a myslet.“ Přečtěte si návod, promyslete si, co vám není jasné, a
pokuste se získat na své otázky odpovědi – nejprve sami, posléze s pomocí vyučujícího.
A hlavně: nestůjte a pracujte, čas pracuje proti vám.
1.3. Otázky, které by měly napadnout toho, kdo se pokouší něco namě-
řit.
1. Co vlastně určuji, když měřím fyzikální veličinu?
2. Je to, co naměřím, skutečně hodnota dané fyzikální veličiny?
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 2
3. Lze měřit přesně? Kdy lze měření považovat za přesné?
4. Jakým způsobem vznikají při určování měřené hodnoty chyby?
5. Jak zohlednit chyby měření při určování měřené veličiny?
6. Jak vlastně výsledky měření zpracovat, aby jejich vypovídací hodnota byla co nej-
větší?
Nyní se na chvíli zastavte a sami popřemýšlejte o jednotlivých bodech. Důležité je
udělat si vlastní názor. Hotovo? A teď porovnejte své odpovědi s našimi:
1. Co vlastně určuji, když měřím fyzikální veličinu?
Měřím-li fyzikální veličinu x, určuji její velikost {x} ve zvolených jednotkách [x].
Například: Měřím-li délku kratší hrany listu papíru formátu A4, dostanu l = 210 mm,
čili {x} = {l} = 210, [x] = [l] = mm. Ztráta jednoho z údajů z této dvojice není
ztrátou poloviny údajů, ale výsledků celého měření.
2. Je to, co naměřím, skutečně hodnota dané fyzikální veličiny?
Zůstaňme u příkladu délky kratší hrany listu papíru formátu A4. Naměřená hodnota
by měla být l = 210 mm, protože tato délka je definována mezinárodním standardem
ISO 216 (DIN 476). Přesto však mohu naměřit například l = 209 mm. Co může být
příčinou?
(a) Chyba je opravdu ve formátu papíru. V papírnách mají prostě špatně nastavenou
řezačku. Ale je to jisté?
(b) Chyba je chybou měřidla. Podlouhlé pravítko (30 cm dlouhé, plastové) má otlučené
rohy a tím pádem poškozený začátek stupnice.
(c) Chyba je chybou obsluhy přístroje.
(d) Je to vůbec chyba? Změřme ještě jednou: l = 211 mm. A znovu: l = 210 mm.
A ještě několikrát .... zde nebude vysvětlení patrně elementární, musíme si přizvat
na pomoc matematickou statistiku.
3. Lze měřit přesně? Kdy lze měření považovat za přesné?
Přešně měřit nelze, ale lze měřit s vyhovující přesností pro daný účel, pro který
měření provádíme. Přesnost měření lze zvýšit různými metodami, například metodou
kompenzační.
Proberme situaci na příkladě měření elektromotorického napětí. Při měření elektromotorického
napětí obvykle postupujeme tak, že připojíme voltmetr přímo paralelně
ke zdroji. Dopouštíme se tak ale systematické chyby. Vztah mezi svorkovým a elektromotorickým
napětím je
U =
1 + Ri
RV
,
voltmetr je pro zdroj zátěží, teče jím proud, který zmenšuje hodnotu napětí na zdroji.
Je-li vnitřní odpor voltmetru dostatečně velký (matematicky RV → ∞, fyzikálně
RV >> Ri), je naměřené napětí přímo napětím elektromotorickým (viz levá část
obrázku 1.1). Pokud ne, dochází ve voltmetru k proudové ztrátě a naměřené napětí
je menší než elektromotorické. V tomto případě lze proudovou ztrátu ve voltmetru
kompenzovat připojením dalšího zdroje (viz pravá část obrázku 1.1). Napětí vytvořené
pomocným zdrojem ε na odporu R1 může při vhodném nastavení rezistoru R2
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 3
Ri
V
εε +
-
U
RV
εε +
-
G
VR1
R2
ε΄ε΄>ε>ε
+
-
U
I
I1
I3 I2
Obrázek 1.1: Měření elektromotorického napětí – přímá a kompenzační metoda
kompenzovat úbytek napětí na zatíženém zdroji. Galvanoměrem G v tomto případě
neteče proud I a hodnota napětí U na odporu R1 je přímo rovna elektromotorickému
napětí zdroje ε.
4. Jakým způsobem vznikají při určování měřené hodnoty chyby?
Způsobů je mnoho. Chyby rozlišujeme na
(a) Hrubé: Vznikají přehlédnutím, překlepem, nevratnou či náhlou změnou laboratorních
podmínek (např. polití aparatury vodou při měření vlhkosti vzduchu).
(b) Systematické: Většinou chyba metody (typickým příkladem je měření proudu
a napětí metodou A a B v úloze 3 ?toto je číslování FPNO, dávat sem odkaz?
nebo níže uvedené měření elektromotorického napětí zdroje)
(c) Náhodné: těžko popsatelné, opravdu náhodné vlivy. Můžeme doufat jen v jednu
věc, a to, že ve velkých souborech dat jsou tyto náhodné vlivy matematicky
popsatelné.
5. Jak zohlednit chyby měření při určování měřené veličiny?
Jak zohlednit chyby měření při určování měřené veličiny? Tímto se zabývá matematická
statistika a teorie pravděpodobnosti. Minimum jejích základních poznatků
potřebných pro fyzika je uvedeno v kapitole 2..
6. Jak vlastně výsledky měření zpracovat, aby jejich vypovídací hodnota byla co největší?
Přečtěte si kapitolu 2. a směle se dejte do experimentování. Hodně úspěchů a málo
škod!
2. Jak zpracovat naměřené hodnoty
Jak vlastně zpracovat naměřené hodnoty s užitím matematické statistiky? Tento
text by měl přinést stručný návod s odkazy na podrobnější matematické zdůvodnění
prováděných akcí, ať již v dodatcích či v literatuře.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 4
2.1. Měření „statického stavu“
Jedná se o měření veličin, jejichž hodnoty se s časem nemění, například délek, objemů,
hmotností, velikosti stejnosměrného proudu či napětí (nebo velikostí efektivních hodnot
veličin pro střídavý proud ....). Zcela nevhodné je používat následující postupy
na veličiny, jejichž hodnoty se s časem mění (například teplota při zahřívání kalorimetru)
nebo na takové, kdy má být výsledkem měření graf (VA charakteristiky,
časové či teplotní závislosti).
2.1..1 Přímo měřené veličiny
Veličiny měřené přímo pomocí měřícího přístroje cejchovaného v jednotkách těchto
veličin, např. délka (metr, pravítko, posuvné měřítko, mikrometrický šroub), proud
a napětí (ampérmetr, voltmetr), čas (stopky, měřící programy v počítači), hustota
kapaliny (Mohrovými vážkami, nikoliv pyknometrickou metodou!) a další.
Vztahy používané pro výpočet chyb jsou odvozeny na základě následujících předpo-
kladů:
i. Při každém měření působí m náhodných vlivů, které jsou vzájemně nezávislé.
ii. Každý z těchto vlivů dává vznik elementární chybě d a to buď kladné, nebo
záporné.
iii. Kladné i záporné elementární chyby jsou stejně časté, tj. pravděpodobnost
vzniku chyby +d je 1/2 a pravděpodobnost vzniku chyby -d je rovněž 1/2.
Za těchto předpokladů lze použít binomické rozdělení (pro veličiny s diskrétními
hodnotami, což ve fyzice téměř neexistuje, snad jen počet pulsů při radioaktivních
měřeních, a ty se řídí Poissonovým rozdělením) anebo normální Gaussovo rozdělení
(spojité spektrum hodnot, nejčastější používané rozdělení pro zpracovávání fyzikálních
veličin).
Zpracování hodnot pro přímo měřenou veličinu:
(a) Nejprve spočítejme aritmetický průměr ¯x n naměřených hodnot xi:
¯x =
1
n
n
i=1
xi (2.1)
(b) chyba jednoho měření se určí jako směrodatná odchylka jednoho měření
s1x =
n
i=1
(xi − ¯x)2
n − 1
. (2.2)
(c) chyba n měření se určí jako směrodatná odchylka jednoho měření dělená odmocninou
z počtu měření (lze odvodit například pomocí zákona šíření chyb).
Nazývá se pak směrodatná odchylka aritmetického průměru
sx =
s1x
√
n
=
n
i=1
(xi − ¯x)2
n(n − 1)
. (2.3)
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 5
p(x)
x0 μ
P
x0
μ
x-k sPυ x x+k sPυ x
xx-k sPυ x x+k sPυ x
Obrázek 2.2: Význam intervalu spolehlivosti
(d) Odstraňme ze souboru n měření hrubé chyby. Hodnoty zatížené těmito chybami
se výrazně odlišují od ostatních hodnot. Je-li interval spolehlivosti dostatečně
široký, leží téměř všechny naměřené hodnoty nezatížené hrubou chybou uvnitř
tohoto intervalu (viz text následujícího odstavce a obrázek 2.2 a tabulka Studentových
koeficientů /1/). Konkrétně pro fitování souboru naměřených hodnot
Gaussovým rozložením leží 99,73% hodnot uvnitř intervalu ¯x − 3.sx, ¯x + 3.sx .
Postupujme tedy takto:
i. Ze souboru naměřených hodnot určeme aritmetický průměr ¯x a směrodatnou
odchylku aritmetického průměru sx.
ii. Ze souboru vyškrtejme všechny hodnoty ležící vně intervalu ¯x − 3.sx, ¯x + 3.sx .
iii. Postup uvedený v bodech i. a ii. opakujme tak dlouho, dokud všechny naměřené
hodnoty nebudou ležet uvnitř intervalu ¯x − 3.sx, ¯x + 3.sx .
S takto upraveným souborem hodnot zbývá určit interval spolehlivosti pro zvolenou
hladinu spolehlivosti (viz následující bod).
(e) Pomocí aritmetického průměru ¯x a směrodatné odchylky aritmetického průměru
sx lze vytvořit interval spolehlivosti [¯x − tPνsx ≤ µ ≤ ¯x + tPνsx], v němž
s určitou pravděpodobností P leží měřené hodnoty veličiny x (viz obrázek 2.2,
µ je střední hodnota rozdělení, kterým se pokoušíme fitovat rozložení naměřených
veličin).
Tuto pravděpodobnost P nazýváme hladinou (úrovní) spolehlivosti, koeficienty
tPν jsou pro tyto úrovně tabelovány (Jde o koeficienty tzv. Studentova rozdělení,
které má jediný volný parametr, a to počet stupňů volnosti ν = n − 1. Pro
nekonečný počet měření přechází toto rozdělení v Gaussovo normální rozdělení
– viz tabulka /1/.).
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 6
Výsledek měření pak zapisujeme ve tvaru
x = (¯x ± tPνsx) [X] pro P = . . . %. (2.4)
(f) Zvažme ještě vliv chyby měřících přístrojů. Je to chyba krajní (tradičně se
značí κ), to znamená chyba pro hladinu spolehlivosti 99,73%. U měřících přístrojů
se stupnicí má velikost jednoho dílku stupnice, u digitálních měřících
přístrojů bývá uvedena v manuálu, u ručkových elektrických přístrojů se počítá
pomocí třídy přesnosti, uvedené přímo na stupnici, u měření stopkami je potřeba
započítat i reakční dobu. Její velikost porovnejme s velikostí směrodatné
odchylky aritmetického průměru přepočítanou pomocí Studentových koeficientů
na stejnou hladinu spolehlivosti. Celková chyba je pak součtem chyby určené směrodatnou
odchylkou a chyby měřícího přístroje.
Pokud je chyba měřícího přístroje mnohem menší než chyba určená směrodatnou
odchylkou, můžeme ji zanedbat. Pokud však je chyba určená směrodatnou
odchylkou nulová (například posuvným měřítkem měříme neustále stejnou hodnotu
délky), neznamená to, že měření je zcela bez chyby, ale že je zatíženo chybou
měřícího přístroje!!!
(g) Chyby měřících přístrojů pro konkrétní měření
i. Přístroje s lineární stupnicí (například: pravítko, posuvné měřítko, rtuťový
teploměr, U-trubice na měření tlaku, ....). Zde je krajní chyba rovna velikosti
jednoho dílku stupnice přístroje, například 1mm u běžného pravítka.
ii. Ručkové měřící přístroje (voltmetr, ampérmetr, ...) Zde je třeba umět dešifrovat
symboly uvedené pod stupnicí (napsat na toto místo tabulku symbolů
pro analogové měřící přístroje nebo s ní studenty vůbec neseznamovat?).
Pro určení chyby je důležité číslo uvedené nad vodorovnou čárkou (u stejnosměrných
měřáků) nebo nad vlnovkou (u střídavých měřáků). Toto číslo
udává krajní chybu relativně, tj. v procentech z daného rozsahu.
Příklad: Měřeni analogovým voltmetrem
Analogový multimetr METRAHIT1A (http://www.metra.cz/)
měřící rozsah 0-50 V stejnosměrného napětí
krajní chyba je 2,5% z uvedného rozsahu (třída přesnosti)
byly naměřeny dvě hodnoty, a to U1 = 8 V a U2 = 42 V.
Krajní chyba je tedy κU = 2,5
100 .50 V = 1, 25 V. Naměřené hodnoty je třeba uvést
s chybou jako
U1 = (8, 00 ± 1, 25) V = (8 ± 1) V,
U2 = (42, 00 ± 1, 25) V = (42 + 1)V.
Napětí U1 je zatíženo daleko větší chybou než U2, stačí určit relativní chybu δU
jako podíl chyby κU a naměřené hodnoty napětí:
δU1
=
κU1
U1
=
1 V
8 V
= 12, 5%,
δU2
=
κU2
U2
=
1 V
42 V
= 2, 4%.
Tento výpočet ukazuje, proč je vhodné při měření analogovým přístrojem volit
rozsah stupnice tak, aby se ručička pohybovala za polovinou stupnice.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 7
iii. Digitální měřící přístroje - je potřeba mít manuál, ve kterém je uvedena
chyba přístroje. Z něj vyčteme, jak chybu měření určovat. Většinou má
chyba dvě složky: procento z měřené hodnoty a digits (d, dgs) = počet
jednotek na posledním desetinném místě daného rozsahu.
Příklad: Měřeni digitálním voltmetrem
Pro digitální multimetr METRAHIT WORLD je pro stejnosměrný rozsah napětí
do 60 V uvedena chyba (±1%+3d). První číslo udává procento z měřené hodnoty,
druhé číslo je počet jednotek na posledním desetinném místě aktuálního rozsahu
(tzv. digits).
Například měříme-li na rozsahu 60 V napětí U1 = 8, 132 V, je celková krajní chyba
rovna
κU1 = ±1%z 8, 132 V ± 3 ∗ 0, 001 V = (0, 081 + 0, 003) V = 0, 084 V.
Měříme-li na témže rozsahu napětí U2 = 42, 12 V (displej má pro čísla 4 pozice),
je celková krajní chyba rovna
κU2 = ±1%z 42, 12 V ± 3 ∗ 0, 01 V = (0, 42 + 0, 03) V = 0, 45 V.
Relativní chyby pak jsou
δU1
=
κU1
U1
=
0, 084 V
8, 132 V
= 1, 03%,
δU2
=
κU2
U2
=
0, 45 V
42, 12 V
= 1, 07%.
Měření velké i malé hodnoty na témže rozsahu jsou srovnatelně přesná.
iv. Měření pomocí počítače hodí se něco napsat?
(h) Dodatky:
i. Dopsat zdůvodnění předchozích vztahů z pozice matematické statistiky
nebo dát jen odkazy na vhodnou literaturu? Napsat něco o Gaussově a jiných
rozděleních? Jak moc důkladně?
2.1..2 Nepřímo měřené veličiny
Veličiny měřené pomocí měřícího přístroje cejchované v jiných jednotkách (např. termočlánek,
kdy je teplota určena pomocí naměřených hodnot napětí, nebo kapalinový
teploměr, kdy je teplota určena výškou hladiny kapaliny v kapiláře) anebo častěji počítané
pomocí přímo měřených veličin (hustota kapaliny (pyknometrickou metodou,
nikoliv Mohrovými vážkami!), objem tělesa (výpočtem z rozměrů, ne pomocí kapaliny
a odměrného válce), výkon (pomocí proudu a napětí, ne pomocí wattmetru),
povrchové napětí (kapková metoda, odtrhávací metoda, ...) a další...).
Vztahy používané pro výpočet chyb jsou odvozeny na základě následujících předpo-
kladů:
i. Nepřímo měřená veličina y závisí na n přímo měřených veličinách, n ≥ 1 :
y = f(x1, x2, . . . , xn). (2.5)
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 8
ii. Pro platnost zákona šíření chyb předpokládáme, že tato funkce není silně nelineární
a neprochází v místě aritmetického průměru hodnot x1 až xn extrémem.
iii. Pokud není funkce silně nelineární a pokud mají veličiny x1 až xn normální
rozdělení, má veličina y také normální rozdělení.
Zpracování hodnot pro nepřímo měřenou veličinu:
(a) Určeme aritmetické průměry ¯x1, ¯x2, . . . ¯xn.
(b) Určeme výše uvedeným postupem směrodatné odchylky arimetrického průměru
sx1 , sx2 , . . . sxn (včetně vyloučení hrubých chyb).
(c) Určeme hodnotu nepřímo měřené veličiny
¯y = f(¯x1, ¯x2, . . . , ¯xn). (2.6)
(d) Určíme odchylku nepřímo měřené veličiny
sy =
∂f
∂x1
2
x1=¯x1
s2
x1
+
∂f
∂x2
2
x2=¯x2
s2
x2
+ . . . +
∂f
∂xn
2
xn=¯xn
s2
xn
, (2.7)
kde symbol ∂f
∂xi xi=¯xi
znamená provést parciální derivaci funkce f podle proměnné
xi a výsledek vyčíslit pro xi = ¯xi pro každé 1 ≤ i ≤ n (při parciálním derivování
je jedinou proměnnou zkoumané xi, ostatní veličiny x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . xn
se při něm považují za konstanty).
(e) Dopočítejme ještě relativní chybu
δ¯y =
sy
¯y
(2.8)
(f) Pokud platí bod iii., má veličina y normální rozdělení, a pak lze stanovit i interval
spolehlivosti
y = (¯y ± kP∞sy) pro P = . . . %.
Je ovšem potřeba mít jednotlivé chyby přímo měřených veličin převedené na
stejné hladiny spolehlivosti.
(g) Pro případ některých konkrétních funkcí f(x1, x2, . . . , xn) je jednodušší spočítat
nejprve relativní chybu δ¯y a z ní teprve chybu absolutní (směrodatnou
odchylku). Toto lépe ukáže cvičení – matematické (dodatek A) i aplikace na
určování tíhového zrychlení z doby kyvu matematického kyvadla (dodatek B).
2.2. Měření závislostí a jejich zpracování
2.2..1 Kreslení grafů
Graf má být především přehledný a názorný. Při jeho kreslení se držíme těchto pra-
videl:
(a) Na vodorovnou osu vynášíme nezávisle proměnnou, na svislou závisle proměn-
nou.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 9
U[V]
I[mA]
0 5 10 15
0
5
15
10
20
25
30
35
40
45
VA charakteristika diody
U0 10 15
0,000
3,07
15
6
20
28,6
30
35,0
39
45,00
2,49 7,3
[12,9, 22,5]
13,8
Závislost
Obrázek 2.3: Dobře a špatně zakreslený graf
(b) Jednotky na osách volíme tak, aby graf pokryl na šířku i výšku cca 80% plochy.
(Na každé ose může být jiné měřítko, jde o to, aby graf nebyl natěsnán v úzkém
proužku.)
(c) Průsečík os nemusí být počátek, aby v grafu nebylo zbytečně volné místo bez
bodů.
(d) Stupnice popisujeme rovnoměrně, nevynášíme na ně naměřené hodnoty, osu
ukončíme šipkou, nezapomeneme na konec osy napsat měřenou veličinu a její
jednotku.
(e) Volbu měřítek provádíme pokud možno tak, aby přesnost odečtu bodů z grafu
byla srovnatelná s přesností měření.
(f) Do grafů nezakreslujeme mřížky, propojení jednotlivých bodů k hodnotám na
osách, a to především v případě, že rýsujeme na milimetrový papír.
(g) Body vyznačujeme křížky, kolečky, čtverečky, ..., vhodné velikosti, nikdy ne
tečkami, nikdy k nim nevypisujeme hodnoty.
(h) Stupnice volíme tak, aby prokládaná závislost byla co nejvíce lineární (můžeme
například používat nejen lineární, ale i kvadratické či logaritmické stupnice).
(i) Prokládáme-li křivku bez použití počítače nebo bez znalostí parametru prokladu,
čili tzv. „od oka“, prokládáme křivku hladkou, bez zlomů, tak aby počet
bodů pod a nad křivkou byl stejný. Nikdy nespojujeme body lomenou čarou!
(j) Je-li v grafu více křivek, odlišíme je barevně či typem čáry a přidáme legendu.
(k) Někdy je vhodné do grafu vynášet i interval spolehlivosti pro jednotlivé hodnoty,
například pomocí krajní chyby (P=99,73%).
(l) Do záhlaví grafu zapíšeme název vystihující obsah grafu.
Na obrázku 2.3 jsou příklady správně a nesprávně nakresleného grafu.
2.2..2 Metoda nejmenších čtverců – proklad grafů, obvykle přímkou
Jedná se o metodu proložení funkce y = f(x), která má co nejlépe vystihnout závislost,
která je mezi n naměřenými hodnotami [xi, yi], i = 1 . . . n. Lze ukázat (například
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 10
y[Y]
x[X]
y=f(x)y=f(x)
yy
ii
f(x )f(x )ii
(f (x)-y )(f (x)-y )iiii
22
y - f(x)y - f(x)iiii(f (x)-y )(f (x)-y )iiii
22
f(x ) - yf(x ) - yiiii
Obrázek 2.4: Grafické znázornění metody nejmenších čtverců
viz [6]), že takováto funkce má splňovat podmínku, že funkce S má minimální hod-
notu,
S =
n
i=1
(f(xi) − yi)2
.
Funkce S je součtem kvadrátů rozdílů zadaných a funkčních hodnot, což vlastně
určuje název metody (viz obrázek 2.4). Zderivováním tohoto součtu kvadrátů odchylek
S podle parametrů Aj funkce f(x) a nalezením jejich minima získáme hodnoty
parametrů funkce f(x), pro niž se tato funkce nejvíce blíží naměřeným hodnotám yi.
Platnost metody nejmenších čtverců:
• Mezi veličinami x a y opravdu existuje závislost.
• K určení hledaných parametrů funkce f je potřeba naměřit alespoň tolik různých
dvojic [xi, yi], kolik je hledaných parametrů (např. na proklad přímkou y =
A + B.x alespoň dvě dvojice).
• Předpokládáme, že hodnoty x nejsou zatíženy žádnou chybou (pokud tento
předpoklad neplatí, používáme tento postup vědomě se systematickou chybou.
Přesnější je v takovémto případě použít ortogonální regresi [4]).
• Hodnoty yi jsou náhodné, nejsou však zatíženy hrubými nebo systematickými
chybami.
Vztahy pro parametry nejčastěji používaných závislostí f(x):
• Lineární závislost y = A + B.x (máme n naměřených dvojic [xi, yi], i = 1 . . . n,
n ≥ 2, sčítáme přes všechna n):
B = n xiyi− xi yi
n x2
i −( xi)2 A =
x2
i yi− xi xiyi
n x2
i −( xi)2
Pro odhad chyby platí (viz [7])
S0 = (Bxi + A − yi)2
s = S0
n−2
sB = s. n
n. x2
i −( xi)2 sA = s.
x2
i
n. x2
i −( xi)2
B = B ± sBtP,n−2 A = A ± sAtP,n−2,
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 11
kde tP,n−2 jsou koeficienty Studentova rozdělení (viz tabulka /1/).
• Kvadratická závislost y = A + B.x + C.x2
(máme n naměřených dvojic [xi, yi],
i = 1 . . . n, n ≥ 3, sčítáme přes všechna n): Provedeme přímé derivování vztahu
S = yi − (A + B.xi + C.x2
i )
2
podle parametrů A, B, C a najdeme pak jejich
hodnotu (tento výpočet je uveden v [1] včetně výsledků).
Druhou možností je vynášet na osu x druhé mocniny naměřených hodnot Xi =
x2
i a pro dvojice [Xi, yi] spočítat parametry lineární závislosti y = A1 + B1X =
A1 +B1x2. V grafu je již pouhým pohledem vidět linearitu, případně nelinearitu
hodnot, také takovýto graf lépe než kvadratická závislost odhalí hrubé chyby
měření – hodnoty jimi zatížené „odskakují“ od lineárního trendu do plochy.
• Proklad polynomem vyššího stupně y = A0 + A1.x + A2.x2
+ . . . + Am.xm
(máme n
naměřených dvojic [xi, yi], i = 1 . . . n, n ≥ m, sčítáme přes všechna n): Obecné
rovnice pro výpočet (převzato z [1]) jsou tvaru
nA0 + A1 xi + . . . + Am xm
i = yi (2.9)
A0 xi + A1 x2
i + . . . + Am xm+1
i = xiyi (2.10)
... (2.11)
A0 xm
i + A1 xm+1
i + . . . + Am x2m
i = xm
i yi (2.12)
Tuto soustavu rovnic lze řešit, například maticovou metodou, ale tento výpočet
je rozumnější přenechat počítači.
• Proklad závislosti pro funkci exponenciální
Tento úkol lze snadno převést na úkol předchozí, totiž proklad grafu přímkou.
Tento proklad nám umožní navíc i zjistit, zda je předpoklad exponenciální závislosti
u daných naměřených hodnot na místě (viz komentář k obdobnému
postupu u kvadratické závislosti. Uvažujme o situaci, kdy závisle proměnná y
závisí na nezávisle proměnné x exponenciálně, čili
y = A1.eB.x
,
kde A1, B jsou konstanty (reálná čísla) a e = 2, 71828 . . . je základ přirozených
logaritmů. Připomeňme si některá pravidla pro počítání s logaritmy:
(a) Logaritmus součinu je součet logaritmů: loga(x1.x2) = loga x1 + loga x2, a
je základ logaritmu.
(b) Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů: loga
x1
x2
= loga x1 − loga x2.
(c) Mocninu logaritmujeme, pokud logaritmus základu mocniny x vynásobíme
exponentem mocniny n: loga xn = n. loga x. Protože odmocninu lze zapsat
jako n
√
x = x
1
n , lze takto logaritmovat i odmocniny: loga
n
√
x = 1
n . loga x.
(d) Přímo z definice základu logaritmu plyne, že loga a = 1.
Zlogaritmujme nyní výše uvedenou rovnici (ln = loge) a pomocí těchto pravidel
ji upravme:
ln y = ln A1.eB.x
ln y = ln A1 + ln eB.x
ln y
ozn.Y
= ln A1
ozn.A
+ (B.x) . ln e
=1
Y = A + B.x.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 12
x
Y=ln y
y=A e1
B.x
Y=A+B.x
Y=AY=A
ln y = ln Aln y = ln A11
x= - —x= - —AA
BB α
tg α=B
Obrázek 2.5: Převod exponenciální na lineární závislost – význam koeficientů
Tato závislost je tedy zřejmě lineární. Stačí tedy do grafu vynášet místo dvojic
hodnot [x, y] dvojice hodnot [x, ln y] = [x, Y ], a pak těmito body proložit
přímku. Pro její parametry platí: A = ln A1 ⇒ A1 = eA, B je směrnice přímky
(viz obrázek 2.5), obvykle je fyzikálně důležitější právě B.
Jako příklad uvádíme výpočet koeficientu lineární absorpce ve skle (viz příklady
B).
2.2..3 Dodatky:
• Odvození metody nejmenších čtverců
Nejprve zopakujme podmínky platnosti této metody:
Platnost metody nejmenších čtverců:
– Mezi veličinami x a y opravdu existuje závislost.
– K určení hledaných parametrů funkce f je potřeba naměřit alespoň tolik
různých dvojic [xi, yi], kolik je hledaných parametrů (např. na proklad
přímkou y = A + B.x alespoň dvě dvojice).
– Předpokládáme, že hodnoty x nejsou zatíženy žádnou chybou (pokud tento
předpoklad neplatí, používáme tento postup vědomě se systematickou chybou.
Přesnější je v takovémto případě použít ortogonální regresi [4]).
– Hodnoty yi jsou náhodné, nejsou však zatíženy hrubými nebo systematickými
chybami.
Snažíme se, aby funkce
S =
n
i=1
(f(xi, A1, . . . , Am) − yi)2
měla minimální hodnotu. Proto musíme provést derivaci této funkce podle jejích
parametrů A1, A2, . . . Am :
∂S
∂Aj
= 0, j = 1, 2, . . . , m.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 13
Omezme se na tvar funkce
f(x) = A1f1(x) + A2f2(x) + . . . + Amfm(x),
čili na lineární regresní funkci (vzhledem k jejím parametrům Aj). Výraz pro S
je tvaru
S =
n
i=1
(A1f1(xi) + A2f2(xi) + . . . + Amfm(xi) − yi)2
.
Zavedeme-li označení
qhj = n
i=1 fh(xi)fj(xi) qh = n
i=1 fh(xi)yi h = 1, 2, . . . , m,
je podmínka minima tvaru:
∂S
∂Ah
= 0 ⇒ qh1A1 + qh2A2 + . . . + qhnAn = ah, h = 1, 2, . . . , m.
Jedná se tedy o soustavu n rovnic o n neznámých, která je za předpokladu
regularnosti matice (det A = 0) řešitelná Cramerovým pravidlem:
Ah =
det Ah
det A
=
q11 q12 . . . q1(h−1) q1 q1(h+1) . . . q1m
q21 q22 . . . q2(h−1) q2 q2(h+1) . . . q2m
...
...
qm1 qm2 . . . qm(h−1) qm q2(h+1) . . . qmm
q11 q12 . . . q1m
q21 q22 . . . q2m
...
...
qm1 qm2 . . . qmm
h = 1, 2, . . . , m.
Výpočet více ozřejmí konkrétní matematický příklad (viz dodatek A1).
• Proklad v počítačovém programu – význam údajů – napsat???
• Jak udělat metodu nejmenších čtverců, je-li osa x zatížena chybou = ortogonální
regrese podle [4] — napsat???
2.2..4 Interpolace a extrapolace
Interpolovat a extrapolovat můžeme v podstatě libovolnou funkcí, ale nejběžněji používanou
funkcí je rovnice přímky – pak hovoříme o lineární interpolaci a extrapolaci.
Lineární interpolace (extrapolace)
Lineární interpolace a extrapolace jsou metody nalezení odhadu hodnoty naměřené
veličiny uvnitř a vně intervalu naměřených dvojic veličin [xi, yi], i = 1, . . . , n,
n ≥ 2, které jsou spojeny lineární závislostí (nebo závislostí, kterou lze v daném
intervalu hodnot považovat za lineární). Jsou to metody užitečné, ovšem musíme
vždy zvážit vhodnost jejich použití pro danou závislost, zvláště v případě extrapolace,
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 14
x[X]
y[Y]
x1 x2
y1
y2
xinter
yinter
xexter
yexter
Obrázek 2.6: Lineární interpolace (extrapolace – čárkovaná část přímky)
kde se pohybujeme už v oblasti mimo interval naměřených veličin, ve které nemusí
předpoklad linearity platit.
Předpokládáme, že funkční závislost mezi dvěma naměřenými hodnotami je lineární
(v grafu je to úsečka). Hledáme hodnotu y pro zvolené x na této úsečce. V obrázku 2.6
lze najít podobné trojúhelníky (věta uu), pro které plyne:
y − y1
x − x1
=
y2 − y1
x2 − x1
.
Pro hledanou hodnotu y příslušnou danému x dostaneme úpravou:
y = y1 + (y2 − y1)
x − x1
x2 − x1
.
Příklad interpolace a extrapolace
Hmotnost ročního chlapce je 13 kg, váha téhož dítěte jako dvouletého je 15 kg. Určete jeho
váhu porodní (věk 0 let) a hmotnost po dosažení plnoletosti.
Provedeme-li výpočet porodní váhy a hmotnosti v plnoletosti extrapolací, dostaneme:
m0 = m1 + (m2 − m1)
0 − 1
2 − 1
[kg] = (13 + (15 − 13).(−1)) kg = 11 kg.
m0 = m1 + (m2 − m1)
18 − 1
2 − 1
[kg] = (13 + (15 − 13).17) kg = 47 kg.
Zkusme vyjít z běžné porodní váhy m0 = 3, 5kg a váhy v jednom roce m1 = 13kg. Pro váhu
ve dvou letech a v plnoletosti pak dostaneme:
m2 = m0 + (m1 − m0)
2 − 0
1 − 0
[kg] = (3, 5 + (13 − 3, 5).2) kg = 22, 5 kg.
m18 = m1 + (m2 − m1)
18 − 0
1 − 0
[kg] = (13 + (13 − 3, 5).18) kg = 184 kg.
Je jasné, že obě extrapolace vedou k nesmyslným výsledkům. Váhový přírůstek dítěte mezi
jedním a dvěma roky je celkem rovnoměrný, ale tento předpoklad není splněn v období
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 15
0-1 rok, kdy velmi rychle přibývá (od okamžiku, kdy přestane těsně po narození hubnout,
což je také normální, ale většina statistik o nejvýše prvním týdnu života neuvažuje), pak
se tento přírůstek zpomaluje a k dalšímu, tentokrát pomalejšímu, přírustku váhy dochází
v období puberty a postpuberty. Lineární extrapolace pro tyto situace není tedy vhodná.
Nahlédněte například na stránky, na nichž jsou uvedeny váhové a výškové grafy včetně
percentilů pro populaci: http://www. ... Růst, výška a hmotnost ditěte, percentilové grafy,
růstove tabulky.html.
Chybí ještě něco podstatného?
A Příklady k procvičení – matematika
Přímo měřené veličiny – statistické zpracování měření
1. Zpracování přímo měřených veličin – Něco sepsat?
2. Chyby měřících přístrojů – Něco napsat?
Nepřímo měřené veličiny – Zákon šíření chyb
Zadání:
1. Určete vztah pro zákon přenosu chyb pro lineární závislost y = ±Ax1 ± Bx2.
2. Určete vztah pro zákon přenosu chyb pro polynom y = ±Axn
1 , n = 0, −1.
3. Určete vztah pro zákon šíření chyb v součinu y = A.x1.x2.
4. Určete vztah pro zákon šíření chyb v podílu y = A.x1
x2
.
5. Určete vztah pro zákon šíření chyb při výpočtu hustoty jistého kovu, z nějž je vyrobena
krychle o hmotnosti m a o hraně a.
6. Vymyslet jich víc pro konkrétní fyzikální situace, v nichž platí součinové vztahy?
Řešení:
1. Určete vztah pro zákon přenosu chyb pro lineární závislost y = ±Ax1 ± Bx2.
Určeme nejprve jednotlivé parciální derivace
∂f
∂x1
= ±A ∂f
∂x2
= ±B
Dosazením do zákona šíření chyb dostaneme
sy = (±A)
2
s2
x1
+ (±B)
2
s2
x2
= A2s2
x1
+ B2s2
x2
2. Určete vztah pro zákon přenosu chyb pro polynom y = ±Axn
1 , n = 0, −1.
Nejprve proveďme derivaci
∂f
∂x1
= A.n.xn−1
1
Dosazením do zákona šíření chyb dostaneme
sy = A.n.¯xn−1
1
2
s2
x1
= A.n.¯xn−1
1 .sx1
.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 16
Spočítejme relativní chybu
δy =
sy
¯y
=
A.n.¯xn−1
1 .sx1
A.¯xn
1
= n.
sx1
¯x1
= n.δx1
.
Relativní chyba je tedy n-násobkem relativní chyby veličiny x1, přičemž n je mocninou
v daném polynomu.
3. Určete vztah pro zákon šíření chyb v součinu y = A.x1.x2.
Určeme nejprve jednotlivé parciální derivace
∂f
∂x1
= A.x2
∂f
∂x2
= A.x1
Dosadíme do zákona šíření chyb
sy = (A.¯x2)
2
s2
x1
+ (A.¯x1)
2
s2
x2
.
Určeme relativní chybu
δy =
sy
¯y
=
(A.¯x2)
2
s2
x1
+ (A.¯x1)
2
s2
x2
A.¯x1.¯x2
=
(A.¯x2)
2
s2
x1
+ (A.¯x1)
2
s2
x2
A2 ¯x2
1 ¯x2
2
=
s2
x1
¯x2
1
+
s2
x2
¯x2
2
.
Výsledná relativní chyba součinu má jednoduché vyjádření
δy = δ2
x1
+ δ2
x2
4. Určete vztah pro zákon šíření chyb v podílu y = A.x1
x2
.
Určeme nejprve jednotlivé parciální derivace
∂f
∂x1
= A
x2
∂f
∂x2
= −Ax1
x2
2
.
Dosadíme do zákona šíření chyb:
sy =
A
¯x2
2
s2
x1
+ −
A¯x1
¯x2
2
2
s2
x2
.
Určeme relativní chybu
δy =
sy
¯y
=
A
¯x2
2
s2
x1
+ −A¯x1
¯x2
2
2
s2
x2
A¯x1
¯x2
2 =
sx1
¯x1
2
+
sx2
¯x2
2
Vyjádření pro výslednou relativní chybu podílu je stejné jako pro relativní chybu součinu:
δy = δ2
x1
+ δ2
x2
5. Určete vztah pro zákon šíření chyb při výpočtu hustoty jistého kovu, z nějž je vyrobena
krychle o hmotnosti m a o hraně a.
Jednotlivými přímo měřenými veličinami jsou x1 = m, x2 = a, nepřímo měřenou veličinou
je hustota (y = ρ). Závislost veličin je dána vztahem
ρ =
m
a3
= m.a−3
.
Podle výsledků předchozích příkladů můžeme rovnou napsat
δρ = δ2
m + (−3.δa)
2
= δ2
m + 9.δ2
a.
Je tedy jasné, že výslednou chybu více ovlivňuje nepřesnost měření délky, která se vyskytuje
ve vzorci pro hustotu ve třetí mocnině, než nepřesnost měření hmotnosti, která je ve vztahu
v mocnině první.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 17
Metoda nejmenších čtverců:
1. Matematické procvičení Cramerova pravidla:
Řešte soustavu rovnic Cramerovým pravidlem:
3A1 + 2A2 + A3 = 1
2A2 + 3A3 = 2
A1 − 2A2 − 3A3 = 3
Řešení: Nejprve ověrme nenulovost determinantu soustavy A:
det A =
3 2 1
0 2 3
1 −2 −3
= 3.2.(−3) + 2.3.1 + 1.0.(−2) − 1.2.1 − 2.0.(−3) − 3.3.(−2)
−18+6+0−2+0+18
= 4 = 0
Nyní určeme jednotlivé proměnné:
A1 =
1
det A
. det A1 =
1
4
1 2 1
2 2 3
3 −2 −3
A1 =
1
4
. 1.2.(−3) + 2.3.3 + 1.2.(−2) − 1.2.3 − 2.2.(−3) − 1.3.(−2)
−6+18−4−6+12+6
=
20
4
= 5
A2 =
1
det A
. det A2 =
1
4
3 1 1
0 2 3
1 3 −3
A2 =
1
4
. 3.2.(−3) + 1.3.1 + 1.0.3 − 1.2.1 − 3.3.3 − (−3).1.0
−18+3−0−2−27−0
=
−44
4
= −11
A3 =
1
det A
. det A3 =
1
4
3 2 1
0 2 2
1 −2 3
A3 =
1
4
. 3.2.3 + 2.2.1 + 1.0.(−2) − 1.2.1 − 2.(−2).3 − 3.2.0)
18+4+0−2+12−0
=
32
4
= 8.
Proveďme i zkoušku.
3.5 + 2.(−11) + 1.8 = 15 − 22 + 8 = 1
2.(−11) + 3.8 = −22 + 24 = 2
5 − 2.(−11) − 3.8 = 5 + 22 − 24 = 3
2. Odvození rovnice lineární regrese pro přímku
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 18
Rovnice přímky má m = 2 parametry, A1 = A a A2 = B, funkce S je tvaru
S =
n
i=1
(f(xi) − yi)2
=
n
i=1
(A + Bxi − yi)2
=
=
n
i=1
(A2
+ B2
x2
i + y2
i + 2ABxi − 2Ayi − 2Bxiyi),
n je počet naměřených dvojic hodnot [xi, yi]. Přímým zderivováním podle parametrů A, B
dostaneme:
∂S
∂A
= n.2A + 2B
n
i=1
xi − 2
n
i=1
yi = 0
∂S
∂B
= 2B
n
i=1
x2
i + 2A
n
i=1
xi − 2
n
i=1
xiyi = 0
Dále upravíme:
n.A + B
n
i=1
xi =
n
i=1
yi
A
n
i=1
xi + B
n
i=1
x2
i =
n
i=1
xiyi
a řešíme sčítací metodou:
A. n
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xi
n
i=1
xi =
n
i=1
yi.
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xiyi.
n
i=1
xi
B
n
i=1
xi.
n
i=1
xi − n.
n
i=1
x2
i =
n
i=1
yi.
n
i=1
xi − n.
n
i=1
xiyi,
odkud lze spočítat hodnoty parametrů A a B.
3. Určete rovnici lineární regrese – přímku procházející body [1, 3], [2, 5].
Dosadíme do předchozích výsledků:
B =
2.
2
i=1 xiyi −
2
i=1 yi.
2
i=1 xi
2.
2
i=1 x2
i −
2
i=1 xi.
2
i=1 xi
=
2.(1.3 + 2.5) − (3 + 5).(1 + 2)
2.(12 + 22) − (1 + 2)2
= 2
A =
2
i=1 yi.
2
i=1 x2
i −
2
i=1 xiyi.
2
i=1 xi
2.
2
i=1 x2
i −
2
i=1 xi.
2
i=1 xi
=
(3 + 5).(12
+ 22
) − (1.3 + 2.5).(1 + 2)
2.(12 + 22) − (1 + 2)2
= 1
Rovnice je tedy tvaru y = 1+2.x, což se dá ověřit klasickým výpočtem parametrické rovnice
přímky procházející zadanými body. Určíme-li ještě zbytkovou ještě zbytkovou sumu čtverců,
zjistíme, že je nulová, protože oba body leží na přímce. Abychom mohli určit i parametr s,
přidejme ještě jeden bod ležící na téže přímce, například [0, 1]. Dostaneme:
S0 = (Bxi + A − yi)
2
= ((2.1 + 1 − 3)2
0
+ (2.2 + 1 − 5)2
0
+ (2.0 + 1 − 1)2
0
) = 0.
s = S0
n−2 = 0
3−2 = 0
sB = s. n
n. x2
i −( xi)2 = 0. 3
3.(12+22+02)−(1+2+0)2 = 0
sA = s.
x2
i
n. x2
i −( xi)2 = 0. 12+22+02
3.(12+22+00)−(1+2+0)2 = 0
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 19
Přímka tedy prochází těmito body přesně.
Uvažujme o situaci, kdy máme tři body, které geometricky neleží v jedné přímce, například
[1, 3], [2, 5], [0, 1.5]. Proveďme výpočet znovu:
B =
3.
3
i=1 xiyi −
3
i=1 yi.
3
i=1 xi
3.
3
i=1 x2
i −
3
i=1 xi.
3
i=1 xi
=
=
3.(1.3 + 2.5 + 0.1, 5) − (3 + 5 + 1, 5).(1 + 2 + 0)
3.(12 + 22 + 02) − (1 + 2 + 0)2
= 1, 75
A =
3
i=1 yi.
3
i=1 x2
i −
3
i=1 xiyi.
3
i=1 xi
3.
3
i=1 x2
i −
3
i=1 xi.
3
i=1 xi
=
=
(3 + 5 + 1, 5).(12
+ 22
+ 02
) − (1.3 + 2.5 + 0.1, 5).(1 + 2 + 0)
3.(12 + 22 + 02) − (1 + 2 + 0)2
= 1, 42
Určeme ještě zbytkovou sumu čtverců a chyby:
S0 = (Bxi + A − yi)
2
= ((1, 75.1 + 1, 42 − 3)2
0,0289
+ (1, 75.2 + 1, 42 − 5)2
0,0064
+
+ (1, 75.0 + 1, 42 − 1, 5)2
0,0064
) = 0, 0417.
s = S0
n−2 = 0,0417
3−2 = 0, 2042
sB = s. n
n. x2
i −( xi)2 = 0, 2042. 3
3.(12+22+02)−(1+2+0)2 = 0, 1444
sA = s.
x2
i
n. x2
i −( xi)2 = 0, 2042. 12+22+02
3.(12+22+00)−(1+2+0)2 = 0, 1864
Zvolíme-li hladinu spolehlivosti 0,6827 (směrodatná odchylka), je Studentův koeficient 1,321,
a pak dostaneme hodnoty
B = B ± sBtP,n−2 = 1, 75 ± 0, 1444.1, 321 = 1, 75 ± 0, 19,
A = A ± sAtP,n−2 = 1, 42 ± 0, 1864.1, 321 = 1, 42 ± 0, 25.
B Příklady k procvičení – fyzika
Zákon šíření chyb – Konkrétní případy – matematické kyvadlo
Jakým způsobem lze určit tíhové zrychlení? Jedna z možností je pomocí periody matematického
kyvadla (viz Obrázek 3.8). Matematickým kyvadlem rozumíme hmotný bod zavěšený na
nehmotném závěsu (při praktické realizaci tedy musíme dbát, aby hmotnost závaží byla mnohem
větší než hmotnost niti, na níž závaží visí).
Pohybovou rovnici kyvadla lze odvodit dvojím způsobem:
1. Pomocí druhé impulzové věty (analogie druhé Newtonovy rovnice pro rotující systém):
Jε = r × F.
Moment setrvačnosti hmotného bodu ve vzdálenosti l od osy otáčení je roven J = m.l2
.
Úhlové zrychlení ε = dϕ
dt má směr z papíru k nám, ramenem síly r je spojnice osy otáčení
a okamžité polohy hmotného bodu. Orientace je k hmotnému bodu, délka je l. Z vlastností
vektorového součinu vyplývá, že jedinou silou s pohybovým účinkem je složka síly tíhové do
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 20
O
l
h
mg
φ
φmax
mg
φ
l.cosφ
mg.sinφ
Obrázek 2.7: Matematické kyvadlo
směru tečného k trajektorii F = m.g. sin ϕ (složky do směru ramene síly mají nulový silový
moment). Sestavme tedy pohybovou rovnici
J.ε = F.l
ml2
.
d2
ϕ
dt2
= −mg sin ϕ.l
d2
ϕ
dt2
+
g
l
sin ϕ = 0
2. Pomocí zákona zachování energie lze k poslední uvedené rovnici dojít také: Potenciální energie
kyvadla ve výšce hmax při maximální výchylce matematického kyvadla (nulovou hladinu
potenciální energie volíme v rovnovážné poloze) je rovna součtu potenciální energie kyvadla
ve výšce h a kinetické energie kyvadla v této výšce. Protože rychlost kyvadla v = l.dϕ
dt a pro
výšku h platí h = l − l cos ϕ = l(1 − cos ϕ), dostaneme
Ep(ϕmax) = Ep(ϕ) + Ek(ϕ)
mgl(1 − cos ϕmax) = mgl(1 − cos ϕ) +
1
2
m. l
dϕ
dt
2
gl(1 − cos ϕmax) = gl(1 − cos ϕ) +
1
2
l2 dϕ
dt
2
Rovnici zderivujme podle času:
0 = gl sin ϕ
dϕ
dt
+
1
2
.l2
.2.
dϕ
dt
d2
ϕ
dt2
gl sin ϕ + l2 d2
ϕ
dt2
dϕ
dt
= 0,
přičemž výraz v závorce je výše uvedená pohybová rovnice.
Nyní zbývá tuto rovnici ještě rozřešit. Většinou se postupuje tak, že provedeme aproximaci
pro malé úhly sin ϕ
.
= ϕ a rovnice 2.13
d2
ϕ
dt2
+
g
l
sin ϕ = 0 (2.13)
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 21
přejde v rovnici 2.14
d2
ϕ
dt2
+
g
l
ϕ = 0, (2.14)
která je exaktně řešitelná, a pro periodu kyvadla platí
T = 2π
l
g
. (2.15)
Vyjádříme-li z tohoto vztahu tíhové zrychlení, dostaneme
g =
4π2
T2
l. (2.16)
Je potřeba si uvědomit, že jsme použili aproximaci pro malé úhly. Musí pro ně platit sin ϕ
.
=
ϕ, což platí pro ϕ ≤ 5◦
(hodnoty sinu a úhlu v radiánech se liší až na čtvrtém desetinném
místě). Například pro kyvadlo délky 1 m lze vychýlit kyvadlo jen o 87mm. Pokud vychýlíme
kyvadlo více, je měření zatíženo systematickou chybou, skutečná perioda je větší než perioda
určená pomocí vztahu 2.15
Tneaprox = T 1 +
1
2
2
sin2 ϕmax
2
+
1.3
2.4
4
sin4 ϕmax
2
+ . . . , (2.17)
kde ϕmax je maximální výchylka matematického kyvadla (což je konstanta). (Odvození
je delší, napíšeme ho do dodatku C). Pokud bychom tedy počítali tíhové zrychlení podle
vztahu 2.16 a neuvažovali korigovanou periodu 2.17, získali bychom tíhové zrychlení systematicky
menší. Ale pokud dodržíme podmínku ϕ ≤ 5◦
, je tato systematická chyba zanedbatelně
malá.
Chybu určení tíhového zrychlení vyjádříme jako chybu relativní, protože toto vyjádření je
jednodušší než přímý výpočet ze zákona šíření chyb (viz předchozí část, zákon šíření chyb –
procvičení matematiky) . Obdržíme
δg = δ2
l + 4δ2
T . (2.18)
Je tedy jasně vidět, že pro minimalizaci chyby určení tíhového zrychlení je třeba změřit co
nejpřesněji periodu matematického kyvadla.
Logaritmická regrese, lineární proklad – koeficient lineární absorpce ve skle
Dopadá-li na sklo tloušťky dx záření intenzity I, pak intenzita záření pohlcená ve skle dI je
přímo úměrná oběma uvedený veličinám:
dI = −µ.I.dx,
kde záporné znaménko znázorňuje úbytek intenzity, µ je koeficient lineární absorpce, který je
ve vztahu konstantou úměrnosti. Tuto lineární diferenciální rovnici prvního řádu (pro chemiky:
kinetika prvního řádu) řešíme separací proměnných a integrací přes celou tloušťku skleněné desky:
dI
I
= −µdx
dI
I
= −µ dx
ln I = −µx + konst.
Konstantu zvolme tak, aby platilo, že při tloušťce skla x = 0 je I = I0, což je hodnota intenzity
pro dopadající záření. Dostaneme konst = ln I0 a dále upravíme:
ln I − ln I0 = −µx
ln
I
I0
= −µx
I
I0
= e−µx
.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 22
V dalším textu značme tloušťku skla x víceméně ze zvykových důvodů d. Pro absorpci záření
ve skle tedy platí vztah
I = I0e−µd
,
kde I je intenzita prošlého záření, I0 je intenzita dopadajícího záření, d je tloušťka skla, koeficient
lineární absoprce µ je závislý na vlnové délce dopadajícího záření. Měříme-li tedy tak, že za sebe
postupně řadíme destičky tlouštěk d1, d2, . . . dn, dostáváme postupně:
I1 = I0e−µd1
I2 = I0e−µ(d1+d2)
...
In = I0e−µ(d1+d2+...+dn)
,
což dá celkem n dvojic hodnot [d1 + . . . + di, Ii], i = 1 . . . n. Z nich spočítat µ jako směrnici přímky
proložené grafem závislosti
ln I = ln I0 − µd
(pro kontrolu můžeme zjistit i druhý parametr, I0, který je měřitelný přímo). Porovnáme-li tuto
hodnotu s tabulkovou, zjistíme, že je vždy menší než tabulková. Při měření se totiž dopouštíme
systematické chyby - chyby metody. Pokud totiž dopadá světlo na sklo, částečně prochází (to je
hodnota I) a částečně se odráží, což činí rozdíl mezi hodnotou I0, kterou by naměřil luxmetr
při přímém dopadu záření, a hodnotou skutečnou, která je menší o hodnotu intenzity odraženého
záření. Pokud můžeme uvažovat o kolmém dopadu, platí pro odrazivost rozhraní vzduch-sklo
R = nsklo−nvzduch
nsklo+nvzduch
2
= 1,5−1
1,5+1
2
= 4%. Tato ztráta nastává na každém rozhraní vzduch-sklo.
Máme dvě možnosti, jak systematickou chybu odstranit – první možností je kápnout mezi jednotlivé
destičky imerzní olej (kapalinu o stejném nebo alespoň velice blízkém indexu lomu jako má sklo,
může to tedy být i voda). K odrazu pak dochází jen na první destičce, což nevadí (hodnotu I0 lze
odečíst z grafu). Koeficient absorpce je pak ovšem ovlivněn i absorcí ve vrstvě imerzní kapaliny
neznámé tloušťky. Druhou možností je započítat odraz na každém skleněném rozhraní do rovnic:
I1 = (1 − R)I0e−µd1
I2 = (1 − R)2
I0e−µ(d1+d2)
...
In = (1 − R)n
I0e−µ(d1+d2+...+dn)
,
Rozdíly obou přístupů naznačuje konkrétní výpočet pomocí počítačového programu, například
Excelu, který si jistě zvládne sepsat čtenář sám.
C Matematické kyvadlo – řešení pro velké výchylky
Proveďme odvození vztahu pro periodu matematického kyvadla, pokud se neomezujeme na malé
úhly.
Matematickým kyvadlem rozumíme hmotný bod zavěšený na nehmotném závěsu (při praktické
realizaci tedy musíme dbát, aby hmotnost závaží byla mnohem větší než hmotnost niti, na níž
závaží visí). Napišme zákon zachování energie pro toto kyvadlo: potenciální energie v maximální
výchylce ϕmax je rovna součtu potenciální a kinetické energie v libovolné výchylce ϕ :
m.g.hmax = m.g.h +
1
2
.m.v2
m.g.l.(1 − cos ϕmax) = m.g.l.(1 − cos ϕ) +
1
2
.m. l.
dϕ
dt
2
g. (cos ϕ − cos ϕmax) =
1
2
.l.
dϕ
dt
2
dt =
l
g
dϕ
√
2 (cos ϕ − cos ϕmax)
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 23
O
l
h
mg
φ
φmax
mg
φ
l.cosφ
mg.sinφ
Obrázek 3.8: Matematické kyvadlo
Nyní musíme zvolit integrační meze a vhodnou substituci. Použijme substituci
sin
ϕ
2
= sin
ϕmax
2
. sin Φ
a integrujme v mezích t = 0 . . . Φ = 0, t = T
4 . . . Φ = π
2 . Tato volba zajišťuje, že v čase t = 0 je
kyvadlo v rovnovážné poloze a v čase t = T
4 je kyvadlo v amplitudě ϕmax.
Postupujme takto:
sin
ϕ
2
= sin
ϕmax
2
. sin Φ
1
2
cos
ϕ
2
dϕ = sin
ϕmax
2
. cos ΦdΦ
cos ϕ = cos 2.
ϕ
2
= cos2 ϕ
2
− sin2 ϕ
2
= 1 − 2. sin2 ϕ
2
dϕ
√
cos ϕ − cos ϕmax
=
sin ϕmax
2 . cos ΦdΦ
1
2 . cos ϕ
2 . 1 − 2. sin2 ϕ
2 − 1 − 2. sin2 ϕmax
2
=
=
sin ϕmax
2 . cos ΦdΦ
1
2 . 1 − sin2 ϕ
2 . 2. sin2 ϕmax
2 1 − sin2
Φ
=
=
√
2dΦ
1 − sin2 ϕ
2
=
√
2dΦ
1 − sin2 ϕmax
2 . sin2
Φ
Takovýto integrál by však nebyl exaktně řešitelný, je to tzv. eliptický integrál EllipticK( ), tabelován
je například v Maple. Výraz ve jmenovateli lze rozvinout v řadu:
|ε| < 1 ⇒ (1 ± ε)
− 1
2
= 1
1
2
.ε +
1.3
2.4
ε2 1.3.5
2.4.6
ε3
+
1.3.5.7
2.4.6.8
ε4
. . .
1 − sin2 ϕmax
2
. sin2
Φ
− 1
2
= 1 +
1
2
. sin2 ϕmax
2
. sin2
Φ +
1.3
2.4
sin4 ϕmax
2
. sin4
Φ +
+
1.3.5
2.4.6
sin6 ϕmax
2
. sin6
Φ +
1.3.5.7
2.4.6.8
sin8 ϕmax
2
. sin8
Φ + . . .
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 24
Nyní se můžeme věnovat konečně výslednému integrování:
T
4
0
dt =
l
g
π
2
0
dϕ
√
2 (cos ϕ − cos ϕmax)
T
4
=
l
g
π
2
0
1 +
1
2
. sin2 ϕmax
2
. sin2
Φ +
1.3
2.4
sin4 ϕmax
2
. sin4
Φ +
1.3.5
2.4.6
sin6 ϕmax
2
. sin6
Φ+
+
1.3.5.7
2.4.6.8
sin8 ϕmax
2
. sin8
Φ + . . . dΦ
T = 4.
l
g
π
2
+
1
2
. sin2 ϕmax
2
π
2
0
sin2
ΦdΦ +
1.3
2.4
sin4 ϕmax
2
.
π
2
0
sin4
ΦdΦ+
+
1.3.5
2.4.6
sin6 ϕmax
2
.
π
2
0
sin6
ΦdΦ +
1.3.5.7
2.4.6.8
sin8 ϕmax
2
.
π
2
0
sin8
ΦdΦ + . . .
Nyní je potřeba zintegrovat sudou mocninu funkce sinus v daných mezích. Platí:
π
2
0
sin2n
ΦdΦ =
1.3.5. . . . .(2n − 1)
2.4.6. . . . .2n
.
π
2
pro n ≥ 1,
π
2
0
sin2
ΦdΦ =
1
2
.
π
2
=
π
4
.
Poslední výraz pak přejde do tvaru
T = 4.
l
g






π
2
+
1
2
. sin2 ϕmax
2
π
2
0
sin2
ΦdΦ
1
2 . π
2
+
1.3
2.4
sin4 ϕmax
2
.
π
2
0
sin4
ΦdΦ
1.3
2.4 . π
2
+
+
1.3.5
2.4.6
sin6 ϕmax
2
.
π
2
0
sin6
ΦdΦ
1.3.5
2.4.6 . π
2
+
1.3.5.7
2.4.6.8
sin8 ϕmax
2
.
π
2
0
sin8
ΦdΦ
1.3.5.7
2.4.6.8 . π
2
+ . . .






Nakonec dostaneme hledaný vztah pro periodu kyvu matematického kyvadla s libovolně velkou
amplitudou ( vztah pro periodu T = 2π. l
g bez následující závorky používáme pouze v přiblížení
pro malé úhly ϕmax < 5◦
):
Tneaprox = 2π.
l
g
T
1 +
1
2
2
. sin2 ϕmax
2
+
1.3
2.4
2
sin4 ϕmax
2
+
1.3.5
2.4.6
2
sin6 ϕmax
2
+
+
1.3.5.7
2.4.6.8
2
sin8 ϕmax
2
+ . . .
D Tabulky koeficientů pro Gaussovo a Studentovo rozdělení
Povšimněte si, že hodnoty pro Gaussovo rozdělení jsou obsaženy v tabulce pro Studentovo rozdělení
na posledním řádku. Gaussovo rozdělení je totiž limitním případem Studentova pro nekonečný
počet měření.
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 25
Studentovy koeficienty
ν hladina spolehlivosti
0,5000 0,6827 0,9000 0,9545 0,9973
1 1,000 1,837 6,314 13,96 235,8
2 0,817 1,321 2,920 4,526 19,21
3 0,765 1,197 2,353 3,307 9,219
4 0,741 1,141 2,132 2,869 6,620
5 0,727 1,110 2,015 2,649 5,507
6 0,718 1,091 1,943 2,516 4,904
7 0,711 1,077 1,895 2,429 4,530
8 0,706 1,067 1.860 2,366 4,277
9 0,703 1,059 1,833 2,320 4,094
10 0,700 1,053 1,812 2,284 3,957
11 0,697 1,048 1,796 2,255 3,850
12 0,695 1,043 1,782 2,231 3,764
13 0,693 1,040 1,771 2,212 3,694
14 0,692 1,037 1,761 2,195 3,636
15 0,691 1,034 1,753 2,182 3,586
16 0,690 1,032 1,746 2,169 3,544
17 0,689 1,030 1,740 2,158 3,508
18 0,688 1,028 1,734 2,149 3,475
19 0,688 1,027 1,729 2,141 3,447
20 0,687 1,026 1,725 2,133 3,422
25 0,684 1,021 1,708 2,105 3,329
30 0,683 1,017 1,697 2,087 3,270
40 0,681 1,013 1,684 2,064 3,199
50 0,679 1,010 1,676 2,051 3,157
70 0,678 1,007 1,667 2,036 3,111
100 0,677 1,005 1,660 2,025 3,077
200 0,676 1,003 1,653 2,013 3,040
∞ 0,675 1,000 1,645 2,000 3,000
Tabulka 1: Tabulka Studentových koeficientů (převzato z [5]):
Návody pro fyz. praktikum (verze 3. ledna 2012) 26
Koeficienty Gaussova rozdělení
P kp
0,500 0,674
0.683 1,000
0.950 1,960
.
= 2 (konvenčně)
0,990 2,576
Tabulka 2: Tabulka koeficientů pro Gaussovo rozdělení (převzato z [1]):
Reference
[1] Novák Miroslav, Úvod do praktické fyziky, výrobna skript rektorátu UJEP Brno, Brno
1989
[2] Novák Miroslav, Máca Bohuslav, Úvod do fyzikálních měření, výrobna skript rektorátu
UJEP Brno, Brno 1979
[3] Kučírková Assja, Navrátil Karel, Fyzikální měření – I., Státní pedagogické
nakladatelství, Praha 1986
[4] Anděl Jiří, Statistické metody, MATFYZPRESS, Praha 2003
[5] Pánek Petr, Úvod do fyzikálních měření, Masarykova univerzita, Brno 2001
[6] Humlíček Josef, Statistické zpracování výsledků měření, UJEP Brno 1984
[7] Meloun Milan, Militký Jiří, Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS Praha
1994