Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Statistické zpracování měření podle JCGM 100:2008 (..Evaluation of measurement data Guide to the expression of uncertainty in measurement1) Prezentace pro výukové účely Výukový text pro F2180 a F2210 Přírodovědecká fakulta MU Ústav fyzikální elektroniky Hf^H O (f ^5^^ I J0™*1!,, MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzděláváni V^Í^A tm^m ■ fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost ^«UiA**" vri, o £ mm Mm i> I Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování MIRHIHFBIfflIIIMH 81 ěřit? znamená měřit? uje mereni? proces experimentálního získávání jedné nebo více hodnot veličiny, které mohou být důvodně přiřazeny veličině (VIM) tzn. určování velikosti {x} fyzikální veličiny x ve zvolené jednotce [xj. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření ■O ^ O1 Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování imená měřit? Co to znamená měřit? Co ovlivňuje měření? Co je výsledkem měření? MIRHIHFBIfflIIIMH mm Měření: proces experimentálního získávání jedné nebo více hodnot veličiny, které mohou být důvodně přiřazeny veličině (VIM) tzn. určování velikosti {x} fyzikální veličiny x ve zvolené jednotce [x]. Příklad: Měření délky kratší hrany listu papíru formátu A4. Přiložením pravítka získám hodnotu / = 210 mm, čili {x} = {/} = 210, [x] = [/] = mm. Jednotka je důležitou součástí veličiny. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování ření? • Náhodné vlivy = změny ovlivňující hodnoty veličin nepředvídatelným způsobem, nelze je kompenzovat, ale při větším počtu pozorování se lze pokusit o statistický popis jejich charakteru. • Systematické vlivy = jsou způsobeny určitými jevy, a za předpokladu dobré znalosti těchto jevů je lze odstranit korekcemi. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování uje měření? Vliv: • dokonalost definice veličiny Příklad: Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co o\ ŕlivňuje měření? konkrét n ěji Příklad: • do definice délky papíru jsme zahrnuli vliv teploty a vlhkosti, nezahrnuli jsme vliv prohnutí podložky pod papírem Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co o\ ŕlivňuje měření? konkrét n ěji a dokonalost definice veličiny • konkrétní realizace veličiny Příklad: • do definice délky papíru jsme zahrnuli vliv teploty a vlhkosti, nezahrnuli jsme vliv prohnutí podložky pod papírem Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co o\ ŕlivňuje měření? konkrét n ěji a dokonalost definice veličiny • konkrétní realizace veličiny Příklad: • do definice délky papíru jsme zahrnuli vliv teploty a vlhkosti, nezahrnuli jsme vliv prohnutí podložky pod papírem • nastavení řezačky v papírnách Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co o\ ŕlivňuje měření? konkrét n ěji a dokonalost definice veličiny • konkrétní realizace veličiny « reprezentativnost vzorků Příklad: • do definice délky papíru jsme zahrnuli vliv teploty a vlhkosti, nezahrnuli jsme vliv prohnutí podložky pod papírem • nastavení řezačky v papírnách Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co ovlivňuje měření? Vliv: • dokonalost definice veličiny a konkrétní realizace veličiny • reprezentativnost vzorků Příklad: • do definice délky papíru jsme zahrnuli vliv teploty a vlhkosti, nezahrnuli jsme vliv prohnutí podložky pod papírem • nastavení řezačky v papírnách • jaké je rozložení délek v souboru papírů, z nichž si vybíráme jeden k měření? Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co o\ ŕlivňuje měření? konkrét n ěji Příklad: • jak ovlivňuje vlhkost papír? Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co o\ ŕlivňuje měření? konkrét n ěji • nedostatečná znalost vlivu prostředí • subjektivní vliv experimentátora Příklad: • jak ovlivňuje vlhkost papír? Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co ovlivňuje měření? konkrétněji Vliv: • nedostatečná znalost vlivu prostředí • subjektivní vliv experimentátora • jak ovlivňuje vlhkost papír? • je hrana papíru blíže levé nebo pravé čárce na měřidlu? Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co ovlivňuje měření? konkrétněji Vliv: • nedostatečná znalost vlivu prostředí • subjektivní vliv experimentátora • rozlišení přístrojů • jak ovlivňuje vlhkost papír? • je hrana papíru blíže levé nebo pravé čárce na měřidlu? Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co ovlivňuje měření? konkrétněji Vliv: • nedostatečná znalost vlivu prostředí • subjektivní vliv experimentátora • rozlišení přístrojů • jak ovlivňuje vlhkost papír? • je hrana papíru blíže levé nebo pravé čárce na měřidlu? • pravítko má nejmenší velikost dílku na stupnici milimetr Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Vliv: • zkorigovanost přístroje s referenčním etalonem, přesnost hodnot použitých konstant ■ 'Příklad: 1 Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření • zkorigovanost přístroje s referenčním etalonem, přesnost hodnot použitých konstant Příklad: « ukazuje vlhkoměr stejnou hodnotu jako referenční etalon (např. psychrometrický vlhkoměr Ahlborn)? Vliv: • zkorigovanost přístroje s referenčním etalonem, přesnost hodnot použitých konstant a zjednodušení a předpoklady při měřeních a výpočtech 'Příklad: o ukazuje vlhkoměr stejnou hodnotu jako referenční etalon (např. psychrometrický vlhkoměr Ahlborn)? Výukový text pro F2180 a F2210 m tatistické zpracování měření Měi .iteral Nei -ení a zr lura a zi • zkorigovanost přístroje s referenčním etalonem, přesnost hodnot použitých konstant a zjednodušení a předpoklady při měřeních a výpočtech Příklad: o ukazuje vlhkoměr stejnou hodnotu jako referenční etalon (např. psychrometrický vlhkoměr Ahlborn)? a zanedbání vyšších řádů ve vzorcích, zanedbání prohnutí podložky pod papírem Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Měi .iteral Nei -ení a zr lura a zi • zkorigovanost přístroje s referenčním etalonem, přesnost hodnot použitých konstant a zjednodušení a předpoklady při měřeních a výpočtech • variace náhodně měřené veličiny Příklad: o ukazuje vlhkoměr stejnou hodnotu jako referenční etalon (např. psychrometrický vlhkoměr Ahlborn)? a zanedbání vyšších řádů ve vzorcích, zanedbání prohnutí podložky pod papírem Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Měi .iteral Nei -ení a zr lura a zi • zkorigovanost přístroje s referenčním etalonem, přesnost hodnot použitých konstant a zjednodušení a předpoklady při měřeních a výpočtech • variace náhodně měřené veličiny Příklad: o ukazuje vlhkoměr stejnou hodnotu jako referenční etalon (např. psychrometrický vlhkoměr Ahlborn)? a zanedbání vyšších řádů ve vzorcích, zanedbání prohnutí podložky pod papírem « vlivem změn teploty, vlhkosti, ... v čase Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování měření? to, co bychom rádi znali, je Pravá hodnota hodnota veličiny, která je ve shodě s definicí veličiny (veličina = vlastnost jevu, tělesa nebo látky, která má velikost, jež může být vyjádřena jako číslo a jednotka) k dispozici však máme pouze naměřenou hodnotu veličiny: naměřená hodnota veličiny hodnota veličiny reprezentující výsledek měření (= soubor hodnot veličiny přiřazený měřené veličině společně s jakoukoliv další dostupnou relevantní informací) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co to znamená měřit? Co ovlivňuje měření? Co je výsledkem měření? Je naměřená hodnota veličiny totožná s pravou hodnotou veličiny? filozofické přístupy k teorii měření • Pravá hodnota veličiny je považována za jedinečnou a v praxi nepoznatelnou (dříve používaný chybový přístup). • Následkem ve své podstatě neúplného množství podrobností v definici veličiny neexistuje jediná pravá hodnota veličiny ale spíše soubor pravých hodnot veličin ve shodě s definicí. Tento je bohužel z principu a v praxi nepoznatelný. (nyní používaný nejistotový přístup) a Další přístupy vesměs obcházejí pojem pravá hodnota veličiny a při určování jejich platnosti se opírají o pojem metrologická slučitelnost výsledků měření pro zhodnocování jejich validity (,f je to v rámci £hyby"") ^ Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování intra nejistota měření a VIM)_ chyba měření naměřená hodnota veličiny minus referenční hodnota veličiny (referenční hodnota veličiny = hodnota veličiny používaná jako základ pro porovnávání s hodnotami veličin stejného druhu) nejistota měření: parametr přidružený k výsledku měření, který charakterizuje rozptýlení hodnot, jež by mohly být důvodně přisuzovány k měřené veličině Příklad: velikost kratší hrany listu papíru formátu A4: podle mezinárodního standardu ISO 216 (DIN 476) je rovna / = 210mm (konvenční hodnota veličiny). Je-li naměřená hodnota rovna In = 209mm, je chyba ó = In - I = 1 mm. Pokud bychom měřili kus papíru náhodně ustřižený z formátu A4, tedy bychom neznali pravou hodnotu délky, je chyba z důvodu neznalosti pravé hodnoty měřené veličiny neurčitelná. Nejistota je naopak určitelná, udává rozmezí (kolem odhadu pravé hodnoty), ve kterém leží měřená délka s pravděpodobností P a stupněm volnosti v. ■0 0,0 Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování matická chyba měření systematická chyba měření složka chyby měření, která v opakovaných měřeních zůstává konstantní nebo se mění předvídatelným způsobem (hodnota odhadu systematické chyby měření se nazývá vychýlení měření (bias)) Poznámky: Referenční hodnotou veličiny pro systematickou chybu měření je pravá hodnota veličiny nebo naměřená hodnota veličiny etalonu (standardu) se zanedbatelnou nejistotou měření, nebo konvenční hodnota veličiny. Systematická chyba měření a její příčiny mohou být známé nebo neznámé. Ke kompenzaci známé systematické chyby měření může být aplikována korekce. Systematická chyba měření se rovná chybě měření minus náhodná chyba měření. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Náhodná chyba měření složka chyby měření, která se v opakovaných měřeních mění nepředvídatelným způsobem Poznámky: • Referenční hodnotou veličiny pro náhodnou chybu měření je aritmetický průměr, který by se získal z nekonečného počtu opakovaných měření téže měřené veličiny. • Náhodné chyby měření souboru opakovaných měření vytvářejí rozdělení, které může být celkově popsáno očekávanou střední hodnotou, o níž se obecně předpokládá, že je nulová, a jeho rozptylem. <* Náhodná chyba měření se rovná chybě měření minus systematická chyba měření. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Co to znamená měřit? Co ovlivňuje měření? Co je výsledkem měření? Co tedy uvést jako výsledek měření? .....ázka • Potřebuji odhad pravé hodnoty a nejistotu měření. • Pokud je rozpětí pravých hodnot veličiny zamýšlených k reprezentaci měřené veličiny malé ve srovnání s nejistotou měření, naměřená hodnota veličiny může být považována za odhad v podstatě jedinečné pravé hodnoty veličiny a je často aritmetickým průměrem nebo mediánem jednotlivých naměřených hodnot veličiny získaných opakovanými měřeními. (VIM) • Nejistotou bývá často například směrodatná odchylka měření (Gaussovo rozdělení s hladinou spolehlivosti 68,3%), případně doplněná o statistické vyhodnocení vlivu měřicího přístroje. (Podrobnosti v dalších kapitolách.) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Použitelnost následujících postupů: měření v čase ustálených hodnot veličin Následující postupy jsou použitelné pro zpracování měření veličin, jejichž hodnoty jsou v čase ustálené, například délek, objemů, hmotností, velikosti stejnosměrného proudu či napětí (nebo velikosti efektivních hodnot veličin pro střídavý proud ....) a u nichž se nevyžaduje jako výsledek měření graf. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro přímá měření v čase ustálených hodnot veličin, dávají-li stále stejnou hodnotu V takovémto případě stačí měřit pouze jednou. Naměřená hodnota x je přímo odhadem pravé hodnoty veličiny. Příklady: • Délka kratší hrany listu papíru A4 měřená školním pravítkem • Hodnota proudu měřená analogovým ampérmetrem • Hodnota napětí na monočlánku měřená digitálním voltmetrem • všechna elektrická měření • všechna měření, která dávají neustále stejné hodnoty Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření Možné, ale málokdy užívané odhady pravé hodnoty veličiny Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření Možné, ale málokdy užívané odhady pravé hodnoty veličiny modus souboru Jehla, nit, náprstek, jehelníček, jehla, špendlík, nit, nit, nůžky" je Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření Možné, ale málokdy užívané odhady pravé hodnoty veličiny modus souboru Jehla, nit, náprstek, jehelníček, jehla, špendlík, nit, nit, nůžky" je „niť Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření Možné, ale málokdy užívané odhady pravé hodnoty veličiny modus souboru Jehla, nit, náprstek, jehelníček, jehla, špendlík, nit, nit, nůžky" je „niť Hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny. Je-li počet hodnot sudý, je mediánem průměr dvou hodnot ve středu řady. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření Možné, ale málokdy užívané odhady pravé hodnoty veličiny modus souboru Jehla, nit, náprstek, jehelníček, jehla, špendlík, nit, nit, nůžky" je „niť Hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny. Je-li počet hodnot sudý, je mediánem průměr dvou hodnot ve středu řady. medián souboru známek z fyziky „1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;2;2;3;4" je Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření Možné, ale málokdy užívané odhady pravé hodnoty veličiny modus souboru Jehla, nit, náprstek, jehelníček, jehla, špendlík, nit, nit, nůžky" je „niť Hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny. Je-li počet hodnot sudý, je mediánem průměr dvou hodnot ve středu řady. medián souboru známek z fyziky „1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;2;2;3;4" jej", Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření Možné, ale málokdy užívané odhady pravé hodnoty veličiny modus souboru Jehla, nit, náprstek, jehelníček, jehla, špendlík, nit, nit, nůžky" je „niť Hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny. Je-li počet hodnot sudý, je mediánem průměr dvou hodnot ve středu řady. medián souboru známek z fyziky je ,1;1;1;1;1;2;2;3;4" je„1", medián souboru známek z tělocviku „1 ;2;2;2;2;3;3;3;4;5" Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření Možné, ale málokdy užívané odhady pravé hodnoty veličiny modus souboru Jehla, nit, náprstek, jehelníček, jehla, špendlík, nit, nit, nůžky" je „niť Hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny. Je-li počet hodnot sudý, je mediánem průměr dvou hodnot ve středu řady. medián souboru známek z fyziky je ,2,5". ,1;1;1;1;1;2;2;3;4" je„1", medián souboru známek z tělocviku „1 ;2;2;2;2;3;3;3;4;5" Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Odhad pravé hodnoty veličiny pro opakovaná přímá měření aritmetický průměr naměřených hodnoty xux2,...xn Jako odhad pravé hodnoty veličiny použijeme aritmetický průměr n naměřených veličin: Aritmetický průměr x Příklad: Délka kratší hrany listu papíru A4 měřená posuvným měřítkem: / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xý[mm] 209.8 209.6 210.1 209.7 210.1 210.2 209.7 210.3 209.9 209.8 n= 10 x = 209,92mm = 209,9mm ■0 0.0 Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Složky nejistoty měření typu A (B) Přesněji: složky nejistot, které jsou hodnoceny nebo vyhodnocovány postupem A (B) Složky nejistoty vyhodnocované postupem A pokrývají jak náhodné chyby, tak i odchylky (systematické chyby). Postup vyhodnocení A je založen na statistické analýze dat. Základní je to, že vliv náhodných chyb nemůže být nikdy korigován, zatímco vliv odchylek (systematických chyb) korigován být může. Přístup v GUM vychází z toho, že veškeré odchylky (systematické chyby) mohou být korigovány a že jedinou složkou nejistoty odvozenou od těchto odchylek (systematických chyb) je tedy nejistota spojená s výše zmíněnou korekcí. U nejistot vyhodnocovaných postupem A se předpokládá vždy normální rozdělení. Složky nejistot vyhodnocované způsobem B jsou ty složky nejistot, které vznikají v důsledku náhodných chyb nebo odchylek, o kterých nejsme schopni získat přímé informace na základě místní realizace daného měření nebo které vznikají na základě náhodných chyb a odchylek v rámci jiných procesů měření, které ovšem mají s daným procesem měření nějakou souvislost (klasickým takovým případem je např. nejistota v důsledku kalibrace používaného měřidla). Směrodatná odchylka nejistoty vyhodnocované způsobem B je pak počítána zpravidla na základě fyzikálně zdůvodněného rovnoměrného (trojúhelníkového, lichoběžníkového nebo normálního) rozdělení._ = Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Vyhodnocení nejistot měření postupem A Postup získání standardní nejistoty (n naměřených hodnot) Mějme n naměřených hodnot, určeme z nich aritmetický průměr a poté směrodatnou odchylku aritmetického průměru x, která je standardní nejistotou typu A: Směrodatná odchylka výběrového průměru x * uA{x) = s{x) = A L(x;-x)2 n(n- 1) « Takto určená směrodatná odchylka odpovídá intervalu pokrytí pro hladinu pravděpodobnosti 68.27%. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledl Zápis výsledku měření tot měření postupem A nejistoty (n naměřených hodnot) Příklad: Délka kratší hrany listu papíru A4 měřená posuvným měřítkem: /' Xý [mm] (Xý - x) [mm] (Xý - x)'1 [mm2] 1 209.8 -0.1 0.01 2 209.6 -0.3 0.09 3 210.1 0.2 0.04 4 209.7 -0.2 0.04 5 210.1 0.2 0.04 6 210.2 0.3 0.09 7 209.7 -0.2 0.04 8 210.3 0.4 0.16 9 209.9 0.0 0.00 10 209.8 -0.1 0.01 s(x) = ^ L (xrx)2 = 0,08 mm výsledek je tvaru x= (209,9 + 0,1)mm (P = 0,6827) n = 10 x = 209,9mm £ (x; - x) = 0,2mm £ (x/ -x)2 = 0,52mm2 ;=1 ;=1 nejistotu zaokrouhlujeme na jednu, nejvýše dvě platné číslice Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření „Odstranění hrubých chyb" Algoritmus pro vyřazení hodnot „vybočujících z řady" O Určete aritmetický průměr x a směrodatnou odchylku aritmetického průměru s(x). O Určete směrodatnou odchylku výběrového souboru podle vztahu s(x) = -yn-s(x). O Určete hraniční body intervalu -s Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování „Odstranění hrubých chyb" Algoritmus pro vyřazení hodnot „vybočujících z řady" Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Příklad: Délka kratší hrany listu papíru První hledání hrubé chyby /' Xý [mm] (Xý - x) [mm] (Xý - x)'1 [mm2] 1 209.8 0.2 0.04 2 209.6 0.0 0.00 3 210.1 0.5 0.25 4 206.7 -2.9 8.41 5 210.1 0.5 0.25 6 210.2 0.6 0.36 7 209.7 0.1 0.01 8 210.3 0.7 0.49 9 209.9 0.3 0.09 10 209.8 0.2 0.04 n= 10 x = 209,6mm Z ... = 0,2mm L ... = 9.94mm2 ;=1 ;=1 = 0,3mms(x)= V"s(x) = 0,6mm s(~x) = \ -ňtn=iy v intervalu = <207.8,211.4)mm neleží hodnota číslo 4, tuto škrtneme Druhé hledání hrubé chyby /' Xý [mm] (Xý - x) [mm] (Xý - x)'1 [mm2] 1 209.8 -0.1 0.01 2 209.6 -0.3 0.09 3 210.1 0.2 0.04 5 210.1 0.2 0.04 6 210.2 0.3 0.09 7 209.7 -0.2 0.04 8 210.3 0.4 0.16 9 209.9 0.0 0.00 10 209.8 -0.1 0.01 n= 9 x = 209,9mm L ... = 0,4mm L ... = 0,48mm2 Ľ (xrx)2 = 0,08mms(x) = \[ňs(x) = 0,24 mm s« = \ n(n-1) v intervalu = <209.2,210.6>mm leží všechny hodnoty, výsledek je x = (20.9,9 + W) mm -(P = 0,*827) 5 -oq,o Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Vyhodnocení nejistot měření postupem B Na co aplikovat tento postup? Neobvyklejšími zdroji nejistot, které jsou vyhodnocovány přístupem B - tedy metodami hodnocení nejistot jinými, než je statistická analýza řady měření, jsou: O měřidla a etalony kalibrované v jiných laboratořích, O fyzikální konstanty používané při výpočtu výsledné uváděné hodnoty, Q vlivy prostředí, které nemohou být statisticky vyšetřeny, O možné odlišnosti v uspořádání měřidel a realizaci měřicího procesu, O nedostatek rozlišovací schopnosti měřidla. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Vyhodnocení nejistot měření postupem B Jak konkrétně postupovat? O Zpracováme jednotlivé zdroje nejistoty, jichž je m, m > 1. Q Je-li známa maximální odchylka y-tého zdroje nejistoty Zjmax, určí se příslušná nejistota jako Nejistota příslušná y-tému zdroji nejistoty , , Zjmax kde k = V§ pro rovnoměrné rozdělení, k = 3 pro normální rozdělení... Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Vyhodnocení nejistot měření postupem B Jak konkrétně postupovat? O všechny nejistoty spojíme ve výslednou nejistotu Výsledná standardní nejistota typu B 1 uB(x) = ^ kde Ubj(x) jsou jednotlivé nejistoty nejistot a Aj jsou jejich součinitelé sám). m / přslušné jednotlivým zdrojům citlivosti (odhaduje si je statistik Takto vytvořená nejistota má charakter standardní odchylky a lze ji sloučit s nejistotou typu A do výsledné kombinované nejistoty. <,□►«„► Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Vyhodnocení nejistot měření postupem B Jak konkrétně postupovat? Příklad: Délka kratší hrany listu papíru A4 měřená posuvným měřítkem: Zdroje nejistoty: ^) nejistota spojená s rozlišovací schopností měřidla: maximální odchylka prvního zdroje nejistoty z^max je dána velikostí jednoho dílku z-\max = 0.1 mm, za předpokladu rovnoměrného rozdělení je tato nejistota "S1 (0= £l^p =0.06 mm celková osobní chyba obsluhy (čtení ze stupnice, stisk, další vlivy) je odhadnuta na ô = 0.075mm, za předpokladu rovnoměrného rozdělení je nejistota spojená s obsluhou Ub2(0 = = 0.04mm předpokládáme stejné součinitele citlivosti = A2 = 1 Pro výslednou standardní nejistotu typu B dostaneme: 2 Yu AfUBj(') = V0.062 + 0.042 mm = 0.07mm, 7=1 uB(') = Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Kombinované nejistoty Spojení nejistot typu A a B Kombinovaná nejistota uc{x) = ^u2A{x) + u2B{x), kde ua{x) je standardní nejistota typu A a ub{x) je standardní nejistota typu B. Takto vytvořená nejistota je standardní, pravá hodnota leží v intervalu pokrytí (x - uc{x),x + uc{x)) s pravděpodobnosti 68,27%. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Kombinované nejistoty Spojení nejistot typu A a B Příklad: Délka kratší hrany listu papíru A4 měřená posuvným měřítkem: • Standardní nejistota typu A byla určena z devíti měření (po .odstranění hrubých chyb" jako směrodatná odchylka aritmetického průměru (viz příklad 4) • Standardní nejistota typu B byla určena započtením nejistoty spojené s rozlišovací schopností měřidla a celkové osobní chyby obsluhy (viz příklad 4) Pro výslednou standardní kombinovanou nejistotu dostaneme: uc(l) = juA(l)2 +uB(l)2 = V0,082 + 0,072mm = 0,11 mm » 4 □ MS M i M i » 1 .rjc^O Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Rozšířené nejistoty Rozšíření intervalu pokrytí na zvolenou hladinu spolehlivosti Rozšířená nejistota Uc{x) = kruc{x), kde Uc{x) je standardní kombinovaná nejistota a kr je koeficient rozšíření. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Pro rozšířené nejistoty používáme jako koeficienty rozšíření koeficienty pro Gaussovo rozdělení, takže kr = 1,960 pro P=0,95 kr = 3 pro P=0,9973 (krajní nejistota) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Rozšířené nejistoty Rozšíření intervalu pokrytí na zvolenou hladinu spolehlivosti Příklad: Délka kratší hrany listu papíru A4 měřená posuvným měřítkem: Výsledná standardní kombinovaná nejistota je rovna Uc{l) = 0,11 mm, tato hodnota je určena pro hodnotu spolehlivosti P = 0.6827. Tuto nejistotu lze rozšířit pro zvolené hladiny spolehlivosti vynásobením koeficientem rozšíření: kr = 1,960 pro P=0,95: Uc(l) = 1,960 • 0,11 mm = 0,2156mm kr = 3 pro P=0,9973 : Uc{l) = 3 • 0,11 mm = 0,33mm. (krajní nejistota) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Uvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Odhad pravé hodnoty Složky nejistoty Vyhodnocení nejistot měření postupem A Vyhodnocení nejistot měření postupem B Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Zápis výsledku měření Stručný zápis výsledku měření Udává se i hladina spolehlivosti Zápis výsledku: x = {x±Uc{x))j (P = ...) Výsledek se zaokrouhlí na jednu, nejvýše dvě platné číslice rozšířené nejistoty měření, odhad pravé hodnoty naměřené veličiny se zaokrouhlí na stejným způsobem jako nejistota měření. Všechny příklady odpovídají měření délky kratší hrany listu papíru A4 posuvným měřítkem: " Příklad: OQ.O /= (209,9 ±0,1) mm (P = 0,6827) /= (209,9 ±0,2) mm (P = 0,95) /= (209,9 ±0,3) mm (P = 0,9973) Výukový text pro F2180 a F2210 m tatistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Podrobný zápis výsledku měření Bilanční tabulka pro přímo měřenou veličinu Obecná podoba bilanční tabulky pro přímo měřenou veličinu veličina X;X odhad x;x standardní nejistota uq(x) typ rozdělení koeficient citlivosti Aq příspěvek ke standardní nejistotě AqUq(x); standardní nejistota u(x) = Je W) X X "1 (x) podle situace Ai A, u, (x) Uq(x) AqUq(x) Um(x) AmUm(x) X X - - u(x) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Odhad pravé hodnoty Přímo měřené veličiny Složky nejistoty Nepřímo měřené veličiny Vyhodnocení nejistot měření postupem A Měření a znázorňování závislostí Vyhodnocení nejistot měření postupem B Literatura a zdroje k dalšímu studiu Kombinované a rozšířené nejistoty, zápis výsledku měření Poděkování Zápis výsledku měření Podrobný zápis výsledku měření Bilanční tabulka Příklad bilanční tabulky - délka kratší hrany papíru formátu A4 veličina X;/ odhad x;/[mm] standardní nejistota Uq(l) typ rozdělení koeticient citlivosti Aq píispévek ke standardní nejistotě uq(/); standardní nejistota u(l) fmml d 209,92 0,08 normální 1 0,08 měřidlo +0,00 0,06 rovnoměrné 1 0,06 obsluha +0,00 0,04 rovnoměrné 1 0,04 d 209,92 - - - 0,11 Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny d pravé hodnoty Nepřímo měřené veličiny i šíření nejistoty Měření a znázorňování závislostí i šíření nejistoty pro konkrétní případy Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování o měřené veličiny na přímo měřených veličinách Odhad hodnoty veličiny Odhad hodnoty nepřímo měřené veličiny Nechi nepřímo měřená veličina y závisí na přímo měřených veličinách x-i, x2/..., xp, p > 1 y = ř(x1/x2/.../xp). Pak odhad hodnoty nepřímo měřené veličiny určíme jako y = í{x^,x2,...,Xp), kde x-|,x2/.. .,xp jsou odhady přímo měřených veličin. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny d pravé hodnoty Nepřímo měřené veličiny i šíření nejistoty Měření a znázorňování závislostí i šíření nejistoty pro konkrétní případy Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování o měřené veličiny na přímo měřených veličinách Odhad hodnoty veličiny Příklad: Plocha listu papíru určená z velikosti hran, které byly určeny posuvným měřítkem: y = ř(x1,x2)=>S = /i-fe p = 2. Odhady jednotlivých rozměrů jsou Ä = 209,9 mm (viz předchozí příklady) a 72 = 297,0 mm. Pak odhad hodnoty nepřímo měřené veličiny určíme jako y = ř(x1,x2,...,xp)=> Š = 7, -\. Číselně: Š = 209,9 mm • 297,0mm = 62340,3 mm2. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování i pravé hodnoty i šíření nejistoty i šíření nejistoty pro konkrétní případy msat vvsledek? Zákon šíření nejistoty Nechí nepřímo měřená veličina y závisí na přímo měřených veličinách xux2,...,xp,p > 1 y = f{xuxz,...,xp). Nechí tyto veličiny mají standardní kombinované nejistoty uc(xi), Uc{x2), ...,uc(xp). Pak nejistota nepřímo měřené veličiny lze určit jako Uc(y) = kde X\,x2,...,xp jsou odhady přímo měřených veličin. (Derivace funkce f podle zvolené proměnné xk jsou parciální, čili při tomto derivování považujeme ostatní proměnné xux2,...,xk_uxk+u...,xpza konstanty.) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování i pravé hodnoty i šíření nejistoty i šíření nejistoty pro konkrétní případy msat vvsledek? Příklad Plocha listu papíru určená z velikosti hran, které byly určeny posuvným měřítkem: y=f(x1/x2)=>S = /1 -/2 p = 2._ Odhady jednotlivých rozměrů jsou U — 209,9 mm (viz předchozí příklady) a 72 — 297,0 mm, nejistoty jsou uc(h) = 0,1 mm (viz předchozí příklady) a "cífe) — 0,2mm, Pak nejistota nepřímo měřené veličiny lze určit jako uC(S)-číselně dS \h=h,k=\\ u|(/2) = ^l^(/i) + /fo|(fe) uc(S) = V297,02 • 0,12 + 209,92 • 0,22mm2 = 51,4mm2. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Odhad pravé hodnoty Nepřímo měřené veličiny Zákon šíření nejistoty Měření a znázorňování závislostí Zákon šíření nejistoty pro konkrétní případy Literatura a zdroje k dalšímu studiu Jak zapsat výsledek? Poděkování Všechny následující vztahy byly odvozeny výpočtem podle zákona šíření nejistot. Jejich výsledný tvar je tak jednoduchý, že je výhodné si ho zapamatovat a používat při zpracování konkrétních měření. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Odhad pravé hodnoty Nepřímo měřené veličiny Zákon šíření nejistoty Měření a znázorňování závislostí Zákon šíření nejistoty pro konkrétní případy Literatura a zdroje k dalšímu studiu Jak zapsat výsledek? Poděkování Nejistota pro nepřímo měřenou veličinu y = x2 + kde X\, x2 jsou přímo měřené veličiny Nejistota rozdílu a součtu přímo měřených veličin Ze zákona šíření chyb vyplyne /rc(*i) + rc(*2), kde rc(xi), rc(x2), jsou relativní standardní nejistoty přímo měřených veličin x-i, x2. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Nejistota pro nepřímo měřenou veličinu y = ■ x2, kde X\, x2 jsou přímo měřené veličiny Odhad pravé hodnoty Zákon šíření nejistoty Zákon šíření nejistoty pro konkrétní případy Jak zapsat výsledek? Příklad: Určení odporu rezistoru Na rezistoru bylo naměřeno napětí U — (12,32 ± 0,03) V a protékal jím proud / = (40,2 ± 0,1) mA. Z těchto hodnot lze určit odpor jako Odhad pravé hodnoty odporu R = 401|fo-3 Q = 306,47Q, relativní nejistotu měření odporu určíme jako rc(R) = ^r^(U) + ff (/) = -^{rĚsf + {wíf = °'003- Absolutní nejistotu měření odporu určíme jako uc(Ff) — rc(R)Ř — 0,003 • 306,47 Q = 0,9 Q. Výsledek je tvaru Ff = (306,6±0,9)Q. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření i pravé hodnoty i šíření nejistoty i šíření nejistoty pro konkrétní případy ipsat výsledek? římo měřenou veličinu y = xn ná veličina a n je reálné číslo Nejistota mocniny přímo měřené veličiny Ze zákona šíření chyb vyplyne rc(y) = n ■ rc(x), kde rc(x) je relativní standardní nejistota přímo měřené veličiny x, n je reálné číslo, čili relativní nejistota nepřímo měřené veličiny je v tomto případě n násobkem relativní nejistoty přímo měřené veličiny. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Odhad Zákon Zákon pravé hodnoty šíření nejistoty šíření nejistoty pro konkrétní případy Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Jak zai >sat výsledek? Nejistota pro nepřímo měřenou veličinu y = x11 kde x je přímo měřená veličina a n je reálné číslo Příklad: Určení výšky věže z doby volného pádu Pokud neuvažujeme odpor prostředí, souvisí výška věže s dobou volného pádu vztahem kde tíhové zrychlení je potřeba zvolit podle zeměpisné polohy a nadmořské výšky, v níž stojí věž (naše volba g = 9,81 m.s"2 přesně). Doba volného pádu byla určena jako f = (3,6 ± 0,3)s. Odhad pravé hodnoty výšky věže určíme jako h = \ -9,81 • 3,62 m = 63,57m. Relativní nejistota měření výšky je stejná jako relativní chyba měření druhé mocniny času (viz funkce typu y = A ■ x) a je tedy rovna dvojnásobku relativní chyby měření času: rc(h) = 2rc(f) = 2 • ^| = 0,17. Příslušná absolutní nejistota určení výšky věže je uc(h) = rc(h)h = 0,17-63,57m= 10,81m. Výsledek měření je tvaru h = (64 ± 11) m. Z tohoto příkladu je vidět, že veličinu, která se vyskytuje ve vztahu v mocnině vyššího řádu, musíme naměřit s co největší přesností. 1 Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Odhad pravé hodnoty Nepřímo měřené veličiny Zákon šíření nejistoty Měření a znázorňování závislostí Zákon šíření nejistoty pro konkrétní případy Literatura a zdroje k dalšímu studiu Jak zapsat výsledek? Poděkování Nejistota pro nepřímo měřenou veličinu y počítaná pomocí výše uvedených pravidel Nejistota pro obecnou veličinu - postup • Nejprve určeme absolutní standardní nejistotu všech součtů, rozdílů a lineárních kombinací, které se nacházejí ve vztahu pro nepřímo měřenou veličinu y. • Dopočítejme k těmto absolutním standarním nejistotám nejistoty relativní. • Sestavme vztah pro výslednou relativní nejistotu tak, že relativní nejistoty všech veličin, které se nacházejí ve vztahu ve tvaru součinu či podílu, umocníme na druhou a sečteme, výsledný součet odmocníme. • V tomto výsledném součtu relativních nejistot nahradíme každou relativní nejistotu veličiny x" n-násobkem relativní nejistoty veličiny rc(x) ( re(x") -> n ■ rc(x))_ Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování i pravé hodnoty i šíření nejistoty i šíření nejistoty pro konkrétní případy >přímo měřenou veličinu y 'edených pravidel Příklad: Určení tíhového zrychlení z periody matematického kyvadla Pro periodu matematického kyvadla platí vztah T = 2n ^Jí, kde / je délka matematického kyvadla a g je tíhové zrychlení. Pro tíhové zrychlení tedy platí g = ■ Perioda byla získána odečtem z časového průběhu průchod kuličky mezi optickými závorami, odečtený časový interval t% - t-\ pokrýval deset period. Celkem tedy 4- 100tt2/ 9 = (t2-h)2 ' 0 Absolutní standardní nejistota měření hodnot času byla odhadnuta stejnou hodnotou, ato uc(U ) = Ucfe)-Podle zákona šíření nejistoty (vztah pro rozdíl veličin), platí pro absolutní standardní nejistotu měření časového intervalu uc(Ař) = V2uc(?i). • Příslušná relativní standarní nejistota se určí jako rc(Af) = ^F"^ři', 0 Vztah pro výslednou relativní standardní nejistotu (součiny a podíly veličin) je rc(g) = -yjr^(l) + r2((Ar)2). 0 Nahrazením výrazu rc((Ar)2) výrazem 2 • rc(At) získáme výsledný vztah pro relativní nejistotu rc(g) = A/ro2(0+4-ro2(A(). Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Odhad pravé hodnoty Nepřímo měřené veličiny Zákon šíření nejistoty Měření a znázorňování závislostí Zákon šíření nejistoty pro konkrétní případy Literatura a zdroje k dalšímu studiu Jak zapsat výsledek? Poděkování —7 '__■ ' i__li ___^ ~ ' Zapiš výsledku mereni Poté, co výše uvedeným postupem určíme odhad hodnoty pravé hodnoty y, relativní standardní nejistotu měření rc(y) a absolutní standardní nejistotu měření uc(y) = rc(y) • y, rozšíříme případně tuto nejistotu na požadovanou hladinu spolehlivosti Uc{y) = kr ■ uc{y) a výsledek zapíšeme jako Zápis výsledku: x = {y±Uc{y))) (P = ...) Příklad: určení plochy listu papíru formátu A4 z délek hran S = (62340 ±51) mm (P = 0,6827) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Podrobný zápis výsledku měření Bilanční tabulka pro nepřímo měřenou veličinu Odhad pravé hodnoty Zákon šíření nejistoty Zákon šíření nejistoty pro konkrétní případy Jak zapsat výsledek? Obecná podoba bilanční tabulky veličina Xq;Y odhad xq;y standardní nejistota Uq(x) typ rozdělení koeticient citlivosti Aq příspěvek ke standardní nejistotě Uq(y) = AqUq(x); standardní nejistota u(y) = ijz^ u2q(y) *i *1 u,(x) podle situace A, My) *q Xq Áq Uq{y) Xm Xm Om(x) Am Um(y) Y y - - u(y) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Odhad pravé hodnoty Nepřímo měřené veličiny Zákon šíření nejistoty Měření a znázorňování závislostí Zákon šíření nejistoty pro konkrétní případy Literatura a zdroje k dalšímu studiu Jak zapsat výsledek? Poděkování Podrobný zápis výsledku měření Bilanční tabulka pro nepřímo měřenou veličinu Bilanční tabulka pro měření plochy listu papíru formátu A4 veličina lq;S odhad /q[mm];S[mm2] standardní nejistota Uq(/)[mm] typ rozdělení koeticient citlivosti Aq příspěvek ke standardní nejistotě Uq(l) = /AqUq(/)[mm]; standardní nejistota u(S)[mm2l h 209,92 297,00 0,11 0,20 standardní standardní 1 1 0,11 0,20 S 62340 - - 51 Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Seznam základní cizojazyčné literatury O GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement • především text, který je podkladem pro naši metrologickou normu: Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement (J CG M 100:2008) • chcete-li se důkladněji zabývat matematikou statistických rozdělení, pak i Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" — Propagation of distributions using a Monte Carlo method Q International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM) Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Seznam české literatury O Stránky Úřadu pro technickou normalizaci, metrologii a státní zkušebnictví - mimo jiné on-line přístup k českým technickým normám (ČSN) • především český překlad výše citovaného VIM Terminologie z oblasti metrologie • a také Nejistoty měření, přesnost měřidel, správnost měření a otázky spojené se vzájemnou porovnatelností výsledků měření a s prohlášením o shodě s technickými specifikacemi • ale také například populárnější text o měření nejen ve fyzice Metrologie v kostce Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Seznam české literatury Q Stručný návod, jak postupovat při zpracování měření ve čtyřech částech, kovariance, o kterých se hovoří ve třetí a čtvrté části, jsou nadstavbou: • Nejistoty v měření I: vyjadřování nejistot • Nejistoty v měření II: nejistoty přímých měření • Nejistoty v měření III: nejistoty nepřímých měření 9 Nejistoty v měření IV: nejistoty při kalibraci a ověřování Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření Úvod Přímo měřené veličiny Nepřímo měřené veličiny Měření a znázorňování závislostí Literatura a zdroje k dalšímu studiu Poděkování Poděkování • Děkuji Mgr. Martinu Šírovi z Českého metrologického ústavu za velmi poučné diskuze o otázkách moderního pojetí měření a za poskytnutí materiálu, který byl zčásti pro tvorbu této prezentace použit. a Děkuji Mgr. Zdenku Navrátilovi, že mě donutil se touto problematikou zabývat. • Děkuji tvůrcům l5Ti5XBeameru, že tento balík vytvořili a vymanili nás tak z područí nejmenovaného programu na tvorbu prezentací. a Konečně děkuji OPVK projektu, v jehož rámci tato prezentace vznikla. Výukový text pro F2180 a F2210 Statistické zpracování měření