1. Opakování z minulého semestru a taky
něco nového
Pojmy: Lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, ekvivalence
a uspořádání na množině
1. Doplňte následující množinu M na bázi V:
a) V = R4
, M = {(1, −2, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}
b) V = R3
, M = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}.
2. Prověřte, zda systém B tvoří bázi R4
a v kladném případě nalezněte
souřadnice vektoru u = (0, 2, −1, 1) v této bázi:
a) B = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}
b) B = {(0, 1, 1, 0), (0, −1, 1, 0), (1, −1, 1, 1), (1, 0, 0, −1)}
Vzhledem k tomu, že toto první cvičení předchází přednášce, zavademe
zde nějaké nové pojmy, se kterými budeme dále pracovat.
3. Kartézským součinem dvou množin A×B nazveme množinu všech
uspořádaných dvojic {[a, b]|a ∈ A, b ∈ B}. Relací je podmnožina
⊂ A × B.
Ekvivalence na množině A je relace ⊂ A×A splňující pro všechna
a, b, c ∈ A:
i. [a, a] ∈ . . . reflexivita
ii. [a, b] ∈ ⇒ [b, a] ∈ . . . symetrie
iii. [a, b] ∈ ∧ [b, c] ∈ ⇒ [a, c] ∈ . . . tranzitivita
pro [a, b] ∈ také značíme a ∼ b.
Uspořádání na množině A je relace ⊂ A×A splňující pro všechna
a, b, c ∈ A:
i. [a, a] ∈ . . . reflexivita
ii. [a, b] ∈ ∧ [b, a] ∈ ⇒ a = b . . . antisymetrie
iii. ([a, b] ∈ ∧ [b, c] ∈ ) ⇒ [a, c] ∈ . . . tranzitivita
pro [a, b] ∈ také značíme a ≤ b.
Třída ekvivalence příslušná prvku a je množina [a] = {b ∈ A | b ∼ a}
Faktormnožina A/ ∼ (nebo A/ ) je množina všech tříd ekvivalence.
a) NEPOVINNÉ
Dokažte, že třídy příslušné dvěma libovolným prvkům a1, a2
jsou buď disjunktní, nebo splývají.
b) Uveďte tři příklady ekvivalence na množině a dokažte, že jde o
ekvivalenci.
c) Uveďte tři příklady uspořádání na množině, dokažte.
d) Uveďte tři příklady relace na množině, která není ekvivalencí
ani uspořádáním. (Který axiom nesplňuje?)
e) NEPOVINNÉ
Popište, jak vypadají faktormnožiny ekvivalencí vámi uvedených
v příkadě 2.
f) Uveďte příklady ekvivalencí na množině matic. Dokažte.
4a. NEPOVINNÉ
Nechť ∼ je relace na Z (množina celých čísel) daná takto: a ∼ b ⇔
(a − b) je dělitelné číslem p. Dokažte, že tato relace je ekvivalencí.
Jak vypadají třídy ekvivalence. Popište faktormnožinu (kolik má
prvků?).
4b.
a) Nalezněte všechny relace ekvivalence na tříprvkové množině.
b) Určete pro každou z nich třídy ekvivalence (kolik jich je?).
c) Nalezněte všechny relace uspořádání na tříprvkové množině.
5. Je dána množina M = {a, b, c, d, e} a relace ⊂ M × M, =
{[a, a], [b, a], [b, e], [c, d]}. Doplňte relaci (nejmenším možným počtem
dvojic) tak, aby byla relací ekvivalence a určete třídy této
ekvivalence.
Domácí úkol
I. Najďete souřadnice vektoru v v bázi B prostoru V:
• V = R3
, v = (1, 2, 1), B = {(0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)}.
• V = P2[x], v = x2
− 4x, B = {x + 1, x2
+ 1, x2
+ x + 1)}.
•
V = Mat2×2, v =
1 2
−1 0
,
B =
1 1
0 0
,
1 −1
0 0
,
0 0
−1 1
,
0 0
1 1
.