Zkušební písemka
Približně takto bude vypadat druhá písemka z předmětu Matematika
2.
1. Je to skalární součin, nebo není?
Rozhodněte, zda operace | : V ×V → R definuje skalární součin
ve vektorovém prostoru V nad R a dokažte:
• V = P3[x], p(x)|q(x) = p(0) · q(0).
• V = C, a + ib|c + id = a · b + c · d.
[2 body]
3. Matice projekce
Určete ortogonální doplněk k podprostoru L v R4
:
L = [(1, −1, 0, 0), (−1, 1, 1, 1)], složky vektorů jsou zapsány v ortonormální
bázi. Určete matici projekce a pro libovolný vektor zapište
vztah pro ortogonální projekci a komponentu.
[3 body]
3. Ortogonalizace
V prostoru P2[x] uvažujte bázi B = {x2
, x+1, 2}. Skalární součin
je definován vztahem
p(x)|q(x) =
1
0
p(x)q(x)dx.
Určete matici skalárního součinu v bázi B. Ortogonalizujte systém
B. Určete projekci vektoru a = x2
do směru vektoru b = 2. Není
třeba dopočítávat do konce, stačí zapsat příslušné vztahy.
[2 body]
4. Vlastní hodnoty a vlastní vektory lineární transfor-
mace:
Matice
A =
1
2



2 0 0
−1 3 −1
1 −1 3



reprezentuje lineární transformaci (vektory píšeme do řádků a násobíme
je maticí A zprava) ϕ : V3 → V3 v bázi (e1, e2, e3).
a) určete vlastní hodnoty této transformace
b) určete vlastní vektory této transformace
c) nalezněte bázi, ve které je ϕ reprezentována diagonální maticí,
určete matici přechodu
d) pomocí trasformačního vztahu převeďte matici A do této báze.
(Vyšla vám diagonální s vlastními hodnotami na diagonále?)
[3 body]