11. Funkce více proměnných
Pojmy: parciální derivace, řetězové pravidlo pro derivování složených funkcí, úplný diferenciál
funkce, gradient funkce
1. Zakreslete grafy funkcí, určete definiční obor a obor hodnot zadané funkce
(a)
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
− 1 = 0
(b)
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 0
(c)
x2
p
+
y2
q
− 2z = 0 p, q > 0
2. Vypočítejte parciální derivace 1. a 2. řádu
(a) f(x, y) = ln 2x2 + y2
(b) f(x, y, z) = ye−x
+ z sin y
3. Je dána plocha f(x, y). Napište rovnici tečny ke křivce, která je dána průsečíkem plochy
f(x, y) a roviny ρ, v bodě s x-ovou souřadnicí x0.
(a) f(x, y) = x2
+ 2y2
, x0 = 3, ρ : y = 2
(b) f(x, y) = x2
y, x0 = 1, ρ : x + y = 0
4. Nalezněte funkci, pro kterou platí:
∂f
∂x
= 2x cos y + y
∂f
∂y
= x − x2
sin y + 1
5. Použijte pravidlo pro derivování složených funkcí a vypočítejte
∂2
F
∂x2
,
∂2
F
∂y2
,
∂2
F
∂z2
, kde
F(x, y, z) = f(r(x, y, z), ϕ(x, y, z), z)
představuje přechod k válcovým souřadnicím:
r = x2 + y2
ϕ = arctan
y
x
z = z
Vyjádřete Laplaceův operátor ve válcových souřadnicích.
Pozn. V kartézských souřadnicích F =
∂2
F
∂x2
+
∂2
F
∂y2
+
∂2
F
∂z2
.
6. Vypočítejte parciální derivace 1. řádu pomocí pravidla pro derivování složených funkcí
F(x, y) = x2
+ xy +
y3
x
pro x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
Domácí úkol
XI.
• Určete gradient funkce f(x, y, z) =
κMm
√
x2 + y2 + z2
.
• Zjistěte, zda výraz je totálním diferenciálem nějaké funkce. Pokud ano, najděte ji.
–
(x2
+ y2
− xy)dx − (x2
+ y2
− xy)dy
x2 + y2
–
(x + y)2
(x2 + y2)2
3(x2
+ y2
) − 2(x + y)x) dx + 3(x2
+ y2
) − 2(x + y)y) dy