Diferenciální rovnice
Pro odevzdání stačí vyřešit jednu až dvě rovnice resp.
soustavy od každého typu.
Diferenciální rovnice prvního řadu
1. Řešte dané lineární diferenciální rovnice typu y = a(x)y+b(x)
i) y = −ytgx + 1
cos x
ii) y = 2x(x2
+ y)
iii) x2
y + xy + 1 = 0
iv) y = x(y − x cos x)
v) x(y − y) = ex
2. Řešte dané exaktní diferenciální rovnice
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
(Poznámka: Jestliže platí ∂P
∂y = ∂Q
∂x pak P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
dF(x, y) = 0 ⇒ F(x, y) = C kde C je konstanta.)
i) (x2
− y2
)dx + (y3
− 2xy)dy = 0
ii) (3x2
+ 8ax + 2by2
+ 3y)dx + (4bxy + 3x + 5)dy = 0
Diferenciální rovnice druhého řádu
y + py + qy = 0 , p , q = const
3. Řešte dané diferenciální rovnice:
i) y + 3y + 2y = 0
ii) y + 2y + y = 0
iii) y + y = 0
4.Řešte dané diferenciální rovnice s nehomogenní pravou stra-
nou:
i) y + y + 2y = xe−2x
ii) y − y = (x − 1) sin 2x
iii) y + y = x3
iv) y − 6y + 9y = 2x2
− x + 3
5. Řešte danou soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu:
y1 = 4y1 − 2y2
y2 = y1 + y2
(1)
y1 = −7y1 + y2
y2 = −2y1 − 5y2
(2)
y1 = y2
y2 = −y1 + 1
(3)
Domácí úkol:
XIIa. Řešte dané diferenciální rovnice
i) y = y−1
x2y2
ii) y cotg x + y = 2
iii) y + 3y − 4y = 0
iv) 2y + y − y = 2ex
XIIb. Řešte danou soustavu diferenciálních rovnic
y1 = −y1 + y2
y2 = −y2 + 4y3
y3 = y1 − 4y3
(4)